¿Lo que ' s el estado de la siguiente relación de Ramanujan ' s $\tau$ función y las álgebras de Lie simples?

Question

Qiaochu preguntado esto en los comentarios a esta pregunta. Ya que este es realmente su pregunta, no la mía, voy a hacer de este un Wiki de la Comunidad. En MR0522147, Dyson se menciona la generación de la función $\tau(n)$ dada por $$ \sum_{n=1}^\infty \tau(n)\,x^n = x\prod_{m=1}^\infty (1 - x^m)^{24} = \eta(x)^{24}, $$ que aparentemente es de interés para el número de teóricos ($\eta$ es Dedekind de la función). Él menciona la siguiente fórmula para $\tau$: $$\tau(n) = \frac{1}{1!\,2!\,3!\,4!} \sum \prod_{1 \leq i < j \leq 5} (x_i - x_j)$$ donde la suma de los rangos de más de $5$-tuplas $(x_1,\dots,x_5)$ de números enteros la satisfacción de $x_i \equiv i \mod 5$, $\sum x_i = 0$ y $\sum x_i^2 = 10n$. Al parecer, los $5$ y 10 $de$, porque esta fórmula proviene de algunos de identidad de $\eta(x)^{10}$. Dyson menciona que hay otras fórmulas similares procedentes de identidades con $\eta(x)^d$ cuando $d$ es en la lista de $d = 3, 8, 10, 14,15, 21, 24, 26, 28, 35, 36, \puntos de dólares. La lista es exactamente a las dimensiones de la simple Mentira álgebras, excepto por la cantidad de $26$, que no tiene una buena explicación. La explicación de los demás, es en la I. G. Macdonald, Afín a sistemas de raíces y Dedekind $\eta$-función, de Inventar. Matemáticas. 15 (1972), 91--143, MR0357528, y el revisor en MathSciNet también menciona que la explicación de $d=26$ es insuficiente.

Así: en los últimos casi 40 años, tiene $d=26$ caso explicado?

Answer 1

El caso de $d=26$ está relacionado con la excepcional Mentira álgebra $F_4$. Permítanme citar, a partir de la década de 1980 papel por Monastyrsky que fue originalmente publicado como un suplemento a la traducción al ruso de la Dyson del papel:

Un estudio más atento de Macdonald artículo revela que la identidad de la 26 de energía de $\eta(x)$ no es realmente un misterio. Está relacionado con el excepcional grupo $F_4$ de dimensión 52, donde el espacio de la doble raíces $F_4^V$ y el espacio de las raíces $F_4$ no son los mismos. Por lo tanto, hay dos identidades distintas asociados con $F_4$, uno por $\eta^{52} (x)$ y el otro por $\eta^{26} (x)$. Una situación similar prevalece en el caso de las álgebras de $G_2$ de dimensión 14, que los rendimientos de identidades para $\eta^{14} (x)$ y $\eta^{7} (x)$. Las identidades de $\eta^{26} (x)$ y $\eta^{7} (x)$ es considerablemente más complicada.