¿Es posible tener números que sean a los números hiperreales lo que los hiperreales son a los números reales?

Question

Hay números hiperrealistas que son menor que cualquier número real También los que son más grande que cualquier , tienen propiedades análogas a las de los números reales gracias al principio de transferencia, etc.

Entonces, parece que podría pensar en otro tipo de números que pueden ser más pequeños o más grandes que cualquier Hiperreal, y otro tipo que puede ser más pequeño o más grande que cualquier número del tipo anterior y uno más ad infinitum . ¿Es correcto o no? Si no lo es, ¿cómo se puede demostrar?

Recientemente tomé ciencia de la existencia de los números hiperreales después de empezar a estudiar el cálculo usando el libro de Jerome Keisler, que está disponible aquí gratis

Answer 1

Dejemos que $D$ sea un ultrafiltro no principal sobre los números naturales. Partimos del modelo no estándar $\mathbb{R}^N/D$ .

Dejemos que $L$ la lengua $L$ que tiene un símbolo constante para cada elemento de $\mathbb{R}^N/D$ y símbolos de función, símbolos de relación de la aridad adecuada para cada función, relación sobre $\mathbb{R}^N/D$ . Dejemos que $T$ sea la teoría cuyos axiomas son todas las sentencias de $L$ que son verdaderos en $\mathbb{R}^N/D$ . Ampliar $L$ añadiendo un nuevo símbolo constante $c$ y ampliar $T$ a una teoría $T'$ añadiendo los axiomas $c\gt \alpha$ para todos los símbolos constantes $\alpha$ en $L$ .

Entonces, por compacidad $T'$ tiene un modelo que es una extensión elemental de $\mathbb{R}^N/D$ y tiene elementos que son "infinitos" con respecto a todos los elementos de $\mathbb{R}^N/D$ y, por tanto, elementos positivos $\epsilon$ que son menores que cualquier elemento positivo de $\mathbb{R}^N/D$ .