Encontrar los subespacios propios usando regla y compás

Question

Creo que esta es una pregunta interesante:

En el 2-dimensional espacio verdadero del vector, se nos da un % de transformación lineal $f$. Supongamos que ya sabemos las imágenes de las bases canónicas, decir $f(e_1),f(e_2)$. Por supuesto, en algunos casos el subespacio propio podría no existir. Pero suponiendo que los subespacios propios, ¿cómo podemos utilizar regla y compás para determinarlos?

Answer 1

¡OK, thas era manera normal pero corcret! Cuál es su idea acerca de esto: $f(e_1)=(f(e_{1}).(1,0)) (1,0)+(f({e_1}).(0,1) )(0,1)=f_{1}(e_1)(1,o)+f_{2}(e_1)(0,1)$ $f(e_2)=(f(e_{2}).(1,0)) (1,0)+(f({e_2}).(0,1) )(0,1)=f_{1}(e_2)(1,o)+f_{2}(e_2)(0,1)$ por lo que será la matriz de f en base standara: $A = \left[\begin{matrix} f_1 ({e_1}) & f_1 (e_2)\\ f_2 (e_1) & f_2 (e_2) \end{matrix}\right]$ y así podemos encontrar valor eigen de esta relación: det ($A = \left[\begin{matrix} f_1 ({e_1}) & f_1 (e_2)\\ f_2 (e_1) & f_2 (e_2) \end{matrix}\right]$ - $\lambda I$) = 0 para esto debemos resolver esta relación: $\lambda^{2}+\lambda(-f_{1}(e_1)-f_2(e_2))+f_{1}(e_1)f_2(e_{2})-f_{2}(e_1)f_{1}(e_2)=0$ ahora si podemos encontrar una buena fórmula para $\lambda$ entonces podemos encontrar una buena fórmula es eigen vector también.

Answer 2

Voy a suponer para la conveniencia de que los puntos dados $f(e_1)=(a,b)$ $f(e_2)=(c,d)$ encuentran en el primer cuadrante, con $a,b,c,d>0$. Cuando los dos reales autovalores existen, los vectores propios son adecuados $$ v_\pm = \left(2c,\alpha \pm \gamma \right) \quad\mbox{donde}\quad \alpha=d-a,\quad \gamma= \sqrt{\alpha^2+\beta^2}, \quad \beta= \sqrt{4ac}. $$ Para la construcción de estos puntos usando regla y compás, proceda de la siguiente manera.

1. Dado $e_1=(1,0)$$e_2=(0,1)$, en primer lugar, construir $O=(0,0)$, por la construcción de la mediatriz de un segmento $\overline{e_1e_2}$ y dibujar el círculo con este segmento como el diámetro. A continuación, dibuje el $x$ $y$ ejes.

2. Dibujar círculos a través de $O$ con centros en$f(e_1)$$f(e_2)$. Estos se cruzan los ejes en los puntos $(2a,0)$, $(0,2b)$, $(2c,0)$ y $(0,2d)$. Por la construcción de las mediatrices a través de los segmentos de unirse a estos puntos de con $O$, construcción de puntos de $(a,0)$, $(0,b)$, $(c,0)$ y $(0,d)$.

3. Siguiente, construcción $P=(0,d-a)=(0,\alpha)$ a pie $a$$(0,d)$. Del mismo modo, la construcción de la $(c+b,0)$$(c-b,0)$.

4. El uso de una mediatriz, dibuja la línea vertical $L$ a través de $(c-b,0)$. Dibujar el círculo con el centro $(0,0)$ a través de $(c+b,0)$ y encontrar la intersección con la a$L$$(c-b,\beta)$, ya que el $(c-b)^2+4bc=(c+b)^2$. Esto construye $\beta$. Construcción $Q=(\beta,\alpha)$.

5. Encontrar $\gamma$ como la longitud del segmento de $\overline{OQ}$.

6. Construcción de la línea vertical a través de $(2c,0)$ y terminar la construcción de la deseada autovectores $v_\pm=(2c,\alpha\pm\gamma)$.