En la lógica clásica, tenemos paradojas como la de la implicación material. Si la lógica no clásica, como la lógica de la relevancia, soluciona esos problemas, ¿por qué seguimos utilizando la lógica clásica?
La lógica de la relevancia nos permite evitar algunos problemas prima facie de la lógica clásica. Pero a un alto precio . Para empezar, en muchos sistemas de lógica relevante se pierde el silogismo disyuntivo, es decir, la regla de que a partir de $A \lor B$ y $\neg A$ se puede deducir $B$ pero se intuye que es una norma válida absolutamente fundamental.
Esto es bastante típico cuando se elige entre sistemas lógicos formales. Empezamos con un montón de "intuiciones" lógicas a las que nos gustaría que se ajustara una lógica formal. He aquí una selección: el silogismo disyuntivo está bien, la prueba condicional está bien, el modus ponens está bien, la vinculación es transitiva sin restricciones, el condicional indicativo no es funcional a la verdad, una contradicción no implica cada proposición, etc. etc. Y entonces nos encontramos con que no podemos satisfacer consistentemente todos esos desiderata juntos. ¡Maldición! ¿Qué hacer?
Tenemos que buscar las "mejores compras" que satisfagan suficiente de los desideratos que nos más se preocupan por reunirse (o se preocupan por reunirse en un contexto particular). Usted paga su dinero y elige.
Y la experiencia muestra que si lo que más nos importa es modelar el razonamiento de los matemáticos que hacen las matemáticas estándar de los libros de texto, por ejemplo, entonces la lógica clásica es realmente brillante en todo tipo de aspectos (se adapta muy bien Y tiene hermosos sistemas de pruebas Y tiene una semántica elegante e intuitiva, etc.). Dadas sus grandes virtudes positivas, aprendemos entonces a vivir con los supuestos fallos de "relevancia" (el condicional es material, una contradicción implica cualquier cosa): estos fallos son, en el contexto, normalmente considerados un precio que vale la pena pagar. Y por eso nos ceñimos (la mayoría de nosotros) a la lógica clásica (la mayor parte del tiempo, para la mayoría de los fines).
Pero no existe una única y verdadera lógica escrita en tablas de piedra. Es una cuestión de costes y beneficios: y tu ponderación de los costes y beneficios puede diferir razonablemente de la opinión de la mayoría.
El " paradojas de la implicación material " no son paradojas, en el sentido de contradicciones, sólo son no intuitivas. Y cualquier "lógica", clásica o no, es una construcción humana El hecho de que una lógica no se corresponda exactamente con el comportamiento de la realidad no impide que sea interesante pensar en ella o que sea útil como aproximación o modelo de la realidad.
Las matemáticas se basan en la modelización. Al modelar, se construye un puente, o más bien un mecanismo de traducción, entre un problema del mundo real y un lenguaje formal, axiomas formales y un sistema lógico para poder manipular simbólicamente los axiomas y las consecuencias.
El modelo no pretende ser una representación fiel de la realidad. Trata de ser una aproximación lo suficientemente buena de la realidad, a la vez que proporciona formas útiles y potentes de deducir propiedades del problema de la vida real manipulando simbólicamente marcas en un papel utilizando las leyes de la lógica elegida.
Los modelos que se utilizan son precisamente los que producen aproximaciones suficientemente buenas junto con técnicas de prueba suficientemente potentes. En la actualidad, parece que la lógica clásica consigue buenos resultados (si no excelentes). Por supuesto, las cosas pueden cambiar y hay razones para considerar otros sistemas lógicos, y de hecho la gente está investigando sistemas lógicos no clásicos y sus aplicaciones. Pero, antes de tirar un caballo perfectamente bueno por otro ligeramente mejor, hay que pensarlo bien.
¿entonces la lógica no clásica no tiene todavía buenas aproximaciones que la lógica clásica ofrece? (¿o no se ha demostrado que sea tan fuerte como la lógica clásica?)
Creo que es seguro decir que no hay indicios claros de que el desarrollo de todas las matemáticas utilizando alguna lógica no clásica vaya a producir modelos de mejor rendimiento para los fines de la ciencia. También es seguro decir que hay indicios que apuntan a los límites de la lógica clásica para los fines de la ciencia (por ejemplo, la mecánica cuántica que lleva a la lógica cuántica), lo que justifica la investigación de las posibilidades.
No sé nada sobre la lógica cuántica (¿quizá no se conocen aún todas las variables?), pero, desde mi perspectiva, ciertamente limitada, otras formas de lógica no clásica me parecen una reacción exagerada a las incoherencias de la teoría de conjuntos ingenua. (Es $x\in x$ ? Tal vez). ¿O el campo de la llamada lógica clásica ha sido más o menos minado?
Una opinión muy común sobre las matemáticas es el "platonismo matemático", que sostiene que los objetos matemáticos existen en algún sentido y que las matemáticas son el estudio de estos objetos. Las reglas de la lógica clásica están estrechamente ligadas a este punto de vista.
Las fórmulas "paradójicas" de la implicación material se verifican cuando las interpretamos como si hablaran de valores de verdad en un modelo fijo. Por ejemplo, si sabemos que $p$ y $q$ son afirmaciones sobre un modelo fijo, sabemos que $p \to (q \lor \lnot q)$ será verdadera en el modelo, al razonar por casos sobre los valores de verdad de $p$ y $q$ en el modelo.
El teorema de completitud para la lógica de primer orden dice que una fórmula es demostrable en la lógica de primer orden si y sólo si es verdadera en cada modelo. Esta afirmación tiene dos partes:
Si podemos demostrar una fórmula en lógica de primer orden, la fórmula es verdadera en todos los modelos. Para un platonista, esto significa que si ya tenemos un modelo fijo en mente, y demostramos una fórmula, sabemos que la fórmula será verdadera en ese modelo.
Una fórmula que es verdadera en cada modelo ya es demostrable en la lógica de primer orden, por lo que no podemos extender la lógica de primer orden a una lógica propiamente más fuerte (es decir, que demuestre más sentencias) manteniendo simultáneamente (1).
El teorema de completitud dice, por tanto, que la lógica de primer orden es la lógica más fuerte posible (en términos de probar el mayor número de sentencias) cuyos resultados son sólidos cuando se aplican a un modelo arbitrario que ya hemos fijado. Ese es exactamente el tipo de lógica que querríamos, como platonistas matemáticos, para estudiar una colección de estructuras preexistentes.
La lógica de la relevancia, por ejemplo, hace que se puedan probar menos fórmulas de implicación. Esto es interesante si tratamos de estudiar la relación "implica" del lenguaje natural, pero es menos interesante si tratamos de estudiar el campo de los números reales y queremos generar el mayor número posible de fórmulas que sean verdaderas en esa estructura.
El punto de vista platonista no se opone ni apoya la lógica clásica. Por ejemplo, puedes ver un topos como el universo matemático que te interesa donde todos los objetos matemáticos existen platónicamente. Entonces la lógica interna del topos es la que te permite estudiar estos objetos platónicos. Por ejemplo, hay un topos en el que toda función $f:\mathbb R \to \mathbb R$ es continua. En otros topos no toda función de este tipo es continua. Pero en cualquier caso, estudiamos cosas que existen platónicamente. Y muchas otras formas de lógica soportan versiones apropiadas de los teoremas de completitud.
@Ittay Weiss: una forma de ver que la posición del topos es incompatible con el platonismo es que el platonismo "duro" implica la ley del medio excluido. Por ejemplo, para un platonista duro un número real fijo $\alpha$ es igual a cero o no es igual a cero -- no por ningún tipo de lógica formalizada, sino simplemente por el hecho general de que dos objetos objetivamente existentes en el universo son iguales o diferentes, y por tanto son iguales o no. Hay topoi que no verifican este hecho sobre los números reales; la lógica interna de tales topoi no es compatible con el platonismo.
Es un buen punto. Supongo que lo que tengo en mente es un platonismo ligeramente relajado. Para mí, rechazar la ley del medio excluido y el principio de explosión no implica rechazar la existencia objetiva de los objetos matemáticos. Siguen estando por ahí, pero sólo que para un intuicionista un objeto puede no existir ni no existir, y paraconsistentemente, un objeto puede existir y no existir. Por ejemplo, en un enfoque ingenuo paraconsistente de la teoría de conjuntos ingenua, se puede decir que el conjunto de Russell existe y no existe.
Por una cuestión de practicidad:
Por lo tanto, no veo ningún mérito en trabajar con la lógica no clásica "desde el principio". Incluso en una situación en la que me inclinara a trabajar en algún tipo de universo no clásico, es simplemente más eficiente invocar la lógica clásica para elaborar las características básicas en lugar de intentar derivarlas desde cero.
Como característica adicional, este enfoque me da la oportunidad de utilizar la lógica no clásica para ayudar en el trabajo clásico - por ejemplo, el uso de la lógica intuicionista para razonar sobre gavillas de conjuntos en un espacio topológico. (véase "topos")
1: No considero que "evitar el uso de la lógica clásica como principio filosófico" sea una característica esencial.
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¿Preferimos la lógica clásica? Bueno, yo... no lo sabía.
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@DonAntonio: O lo hacemos, o no lo hacemos. ¡Por lo tanto LEM se mantiene y la lógica clásica prevalece una vez más! ¡Hurra! :-)