Posible duplicado:
¿Por qué el número $N!$ puede terminar en exactamente $1,2,3,4,$ o $6$ ceros pero nunca $5$ ceros?Sé que tengo que encontrar el número de factores de $5$, $25$, %#% de #% etc. para ello. Pero, ¿cómo puede derivar tal fórmula para cualquier número $125$?
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Dan Walker
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El número de ceros finales en $n!$ es el exponente de $5$ en la factorización prima de $n!$, que por el de Polignac la fórmula de$^1$ está dado por
$$e_5(n!)=\sum_{i= 1}^{\left\lfloor \log n/\log 5\right\rfloor} \left \lfloor \frac{n}{5^i} \right \rfloor.\tag{1}$$
Añadido. Por el mismo de Polignac la fórmula de que el exponente de a $2$ en la factorización prima de $n!$ es
$$e_2(n!)=\sum_{i= 1}^{\left\lfloor\log n/\log 2\right\rfloor} \left \lfloor \frac{n}{2^i} \right \rfloor.\tag{2}$$
Editado. Para cada $n$ existe $m$ tal que $n!=2^{e_2(n!)}\cdot 5^{e_5(n!)}m=(2^{e_2(n!)-e_5(n!)}m)10^{e_5(n!)}$, lo que demuestra que el número de ceros finales en $n!$ es el exponente de $5$ en la factorización prima de $n!$ .
Ejemplo: $n=50$. El exponente de $2$ en la factorización prima de $50!$ es
$$\begin{align} e_2(50!)=\sum_{i\geq 1}\left\lfloor \dfrac{50}{2^{i}}\right\rfloor &= \left\lfloor \dfrac{50}{2}\right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{50}{2^{2}} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{50}{2^{3}} \right\rfloor + \left\lfloor\dfrac{50}{2^{4}}\right\rfloor +\left\lfloor \dfrac{50}{2^{5}}\right\rfloor \\ &=25+12+6+3+1 \\ &=47, \end{align}$$
y el exponente de $5$ $$e_5(50!)=\sum_{i\geq 1}\left\lfloor \dfrac{50}{5^{i}}\right\rfloor=\left\lfloor \dfrac{50}{5}\right\rfloor +\left\lfloor \dfrac{50}{5^{2}}\right\rfloor =10+2=12.$$ Así, el número de ceros finales en $50!=2^{47}5^{12}m=(2^{35}m)10^{12}$$12$.
$^1$ Para cada entero $n$ el exponente del primer $p$ en el primer factorización de $n!$ es igual a $$\displaystyle\sum_{i= 1}^{\left\lfloor \log n/\log p\right\rfloor}\left\lfloor \frac{n}{p^{i}} \right\rfloor .$$
Este exponente se obtiene mediante la suma de los números entre el $1$ $n$ cuales son divisible por $p$ el número de los divisible por $p^{2}$, entonces el número de de los divisible por $p^{3}$, y así sucesivamente. El proceso termina en el mayor poder de $p^{i}\leq n$.
Gudmundur Orn
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(PISTA) Vamos a ver:
Para un número de hasta $4$, no cincos dividen $n!$. Entre el$5$$9$, exactamente 1 5 divide $n!$. En $10$, obtenemos otro $5$. Pensando en ello, podemos sospechar que en $15$, obtendríamos nuestro próximo 5, y así sucesivamente.
Así es la fórmula $\lfloor \frac{n}{5} \rfloor$? Que parece funcionar hasta 5, 10, 15, 20. Pero a $25$, obtenemos no 1, pero dos factores adicionales de $5$! Así, tenemos que para $26$ y así sucesivamente, también!
¿Cómo podemos modificar nuestra fórmula a cuenta de que?
(y - de modo que usted no piensa que se hace a continuación, recordar cosas como $125$ $625$ también).
