Un espacio que no es compacto, pero en el cual cada cadena descendente de conjuntos cerrados no vacío tiene intersección no vacía

Question

Un espacio topológico $X$ es compacto si y sólo si cualquier colección de conjuntos cerrados satisfacción de la intersección finita de la propiedad no tiene intersección vacía.

Claramente, esto implica que los espacios compactos $X$ satisfacen la propiedad de que cualquier descendente de la cadena de $\{Y_i\}_{i\in I}$ de cerrado no vacío conjuntos no vacíos intersección. A la inversa, que un conjunto $X$ satisfacer esta condición es compacto, parece que debería ser falsa. Sin embargo, no puedo encontrar un contraejemplo. ¿Cuál es la forma correcta de pensar acerca de este/ir sobre la búsqueda de uno?

Answer 1

De hecho, es cierto. Supongamos $X$ no es compacto. Deje $\mathscr U=(U_\alpha)_{\alpha<\kappa}$ ser una cubierta abierta de a $X$ sin finito subcover, donde el cardenal $\kappa$ es el más pequeño posible. Noncompactness implica $\kappa \ge \omega$.

Para $\alpha<\kappa$, $$F_\alpha=X\setminus\bigcup_{\beta<\alpha} U_\beta,$$ de esta forma una disminución de de la cadena de conjuntos cerrados.

$\bigcap_{\alpha<\kappa} F_\alpha=\varnothing$, debido a $\kappa$ es un ordinal límite. Si $F_\alpha = \varnothing$ algunos $\alpha<\kappa$, $(U_\beta)_{\beta<\alpha}$ es una cubierta abierta de a $X$ sin finito subcover. Pero el minimality de $\kappa$ implica $|\alpha|\ge\kappa$, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, $(F_\alpha)_{\alpha<\kappa}$ es una disminución de de la cadena de vacío conjuntos cerrados, que tiene intersección vacía.