Me ayudan a entender la lógica detrás de los límites de recurence relaciones

Question

Estaba tratando de entender cómo los límites de recurence las relaciones de trabajo. Yo tengo uno.

$$a_0 = \dfrac32 ,\ a_{n+1} = \frac{3}{4-a_n} $$

Así, a partir de lo que yo sé, si este recurence relación tiene un límite, tiene que estar acotada y monótona. Para comprobar si está delimitada tengo que calcular el $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3}{4-x}$$ y se va a 0, por lo que es acotada.

Ahora para comprobar si es monótono, tengo que comprobar si $$a_{n+1} - a_n$$ es monótono.

$$a_{n+1} - a_n = \frac{3}{4-a_n} - a_n = - \frac{(a_n-3)(a_n-1)}{(a_n-4)}$$ Esta expresión es monótono ( disminución ) pero sólo a partir de x = 5. Es suficiente decir que este es monótono?

Si es que. Sabemos que $$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1} $$

Así que calcula $$L = \frac{3}{4-L}$$ and end up with $$L^2 - 4L + 3 = 0 \rightarrow (L-1)(L-3) = 0$$ sabemos que el límite de este recurence relación puede ser de 1 o 3. En nuestras clases siempre fueron algunos de los ejemplos que había sólo 1 posible límite a elegir. En este ejemplo hemos disminución de la secuencia y $a_0 = \dfrac32$, a continuación, un posible límite es de 1.

Yo estaba empezando a comprobarlo... Lo si $a_0 = \dfrac12$? Lo que si $a_0 = 5$ o $a_0 = 2$ resulta que, no importa qué valor inicial tenemos, la secuencia va siempre al límite mismo ( al menos en este ejemplo ). Es cierto para todos los recurence relaciones? Puede comprobar el uso de wolframalpha clic aquí y sólo manipular con valor inicial. Por favor me ayude con esto y explicar esas cosas raras. Yo estaría muy agradecido!

Answer 1

Tiene algunos errores conceptuales desde el principio.

Así, a partir de lo que yo sé, si este recurence relación tiene un límite, tiene que estar acotada y monótona.

No, usted tiene que al revés. Cada secuencia que es acotada y monótona tiene un límite, pero hay secuencias que tienen límites, sin ser monótono, tales como $$ 2, \frac{1}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{8}, \frac{17}{16}, \frac{31}{32}, \frac{65}{64}, \frac{127}{128} $$ (que se genera por la recurrencia $x_{n+1}=\frac{3-x}{2}$ y tiene un límite de $1$, pero alternativamente los aumentos y disminuciones).

(La palabra es "monótono", no "monótono", por cierto).

Ahora para comprobar si es monótono, tengo que comprobar si $a_{n+1}−a_n$ es monótono.

Um, no, la comprobación de si la sucesión es monótona no es la misma que la de comprobar si la secuencia de primeras diferencias son monótonas.

En lugar de tratar de inventar una sola prueba para montonoicity, es mejor pensar en como hacer dos preguntas: ¿está aumentando? Es decreciente?

En este caso, usted debe ser capaz de demostrar que si $a_n$ entre $1$$3$, a continuación, $a_{n+1}$ es menor que $a_n$ y aún entre $1$$3$. Para este caso seguirá manteniendo para siempre, y la sucesión es decreciente (que es una de las formas en que puede ser monótono). La misma prueba se muestra es limitada.

(¿Por qué $1$$3$? Porque esos son los puntos fijos de las funciones que está repitiendo, y sé por experiencia que el comportamiento de iterado de funciones de cambio cerca de estos puntos -- efectivamente he visto informalmente que el límite es, probablemente, va a ser $1$, y ahora estoy tratando de construir una prueba de que mi corazonada es correcta, no tratando de fingir la estupidez y el enfoque con que no corazonadas).

Si se hace un gráfico de la función $y=\frac{3}{4-x}$ es posible que la única prueba que usted necesita aquí es algunos handwaving que dice "para $1<x<3$ esta gráfica está por debajo de la línea de $y=x$ y el valor de la función es siempre en $[1,3]$".

Su cálculo de los puntos fijos ahora muestra que el único límite que es coherente con la disminución y mantenerse entre los $1$$3$$1$, lo $1$ debe ser el límite.

Yo estaba empezando a comprobarlo... Lo si $a_0=1/2$? Lo que si $a_0=5$ o $a_0=2$ resulta que, no importa qué valor inicial tenemos, la secuencia va siempre al límite mismo ( al menos en este ejemplo ). Es cierto para todos los recurence relaciones?

Incluso en este ejemplo, si $a_0=3$, $a_n=3$ todos los $n$, y por lo tanto el límite es $3$. Pero de lo contrario, si $a_0\ne 4$ tal que evite la división por cero, la secuencia tiende a $1$ no importa dónde empezar. Para convencerse de esto usted necesita para probar

• Si $a_n<1$, a continuación, a partir de ese punto en la secuencia de aumento de monótonamente hacia la $1$ (pero nunca a ser mayor que $1$).
• Si $a_n>4$, a continuación, el siguiente término en la secuencia será negativo, y entonces estamos en el caso anterior.
• Si $3<a_n<4$, $a_n$ va a obtener cada vez más lejos de $3$ hasta llegar a uno que es mayor que $4$, y entonces estamos en el caso anterior.

También hay funciones para las que usted puede terminar para arriba con una secuencia que crece sin límite (como $a_{n+1}=a_n^2$ si $a_0>1$), o secuencias que se quedan delimitadas, pero no tienden a un límite -- como $a_{n+1}=4a_n(a_n-1)$ a que famoso se exhibe comportamiento caótico al $a_0\in(0,1)$.

También hay recurrencias que tienen diferentes atractivos límites, dependiendo de donde usted comience a ellos, tales como $a_{n+1}=a_n+\sin a_n$.

Answer 2

Usted tiene la mayor parte de su análisis a la derecha. Aquí está la explicación completa:

Los dos posibles límites de $L=1$$L=3$, como usted bien señala.

En segundo lugar, $$a_{n+1}-a_n = \frac{a_n^2 -4 a_n +3}{4 - a_n}$$

Entre los dos la posibilidad de limitar el numerador es negativo, y fuera de las dos posibles límites es positivo. Así podemos hacer las siguientes observaciones generales

Si $a_n < 1$ $a_{n+1} > a_n$ (desde el numerador es $>0$, denominador $>0$)

Si $1 < a_n < 3$ $a_{n+1} <a_n$ (desde el numerador es $<0$, denominador $>0$)

Si $3 < a_n < 4$ $a_{n+1} > a_n$ (desde el numerador es $>0$, denominador $>0$)

Si $4 < a_n $ $a_{n+1} < 0$

Así que si usted comienza a la izquierda de $3$, $a_n \to 1$

Si usted comienza a entre $3$ y $4$, $a_n \to 4$ donde la recurrencia de los golpes, o usted puede ir más allá de $4$, en cuyo caso hasta el próximo caso.

Si usted comienza a la derecha de $4$, el siguiente número es menor que cero, y de vuelta para el primer caso, es decir, $a_n \to 1$

Answer 3

Para comprender el comportamiento de una secuencia definida por $u_{n+1}=f(u_n)$ con $u_0$ a veces ayuda a dibujar los gráficos de $y=x$ $y=f(x)$ sobre la misma imagen. A continuación, se hace posible para "dibujar" la secuencia de $u_n$. Por ejemplo, cuando se $f(x)=\sqrt{x}$ $u_0=1/5$ la imagen se parece a esto:

El truco principal es que una vez $u_{n+1}$ se dibuja, es fácil encontrar un punto de $u_{n+1}$ sobre el horisontal eje por medio de la "reflexión" usando el gráfico de $y=x$. Hay algunos detalles más sobre esto en la página donde tengo de haber encontrado esta imagen: http://www.fmaths.com/recursivethinking/lesson.php

Por cierto, este ejemplo también muestra que el límite puede depender de $u_0$. Es decir, $$ \lim_{n\to \infty}u_n=\begin{cases}0, & u_0=0 \\ 1, & u_0\in(0,1], \\ +\infty, & u_0>1\end{casos} $$