Para que $d<0$ $\mathbb Z[\sqrt{d}]$ Euclidiana de Dominio?

Question

Yo sé que para $d=-1, -2$ el anillo de $\mathbb Z[\sqrt{d}]$ es un Dominio Euclídeo. Yo creo que no es un Dominio Euclídeo y $d \leq-3$.

He sido capaz de probar por un puñado de ejemplos (como $d=-3$), mostrando que el anillo no es un UFD, pero no estoy seguro de cómo demostrar a la demanda en general. (Y si la resultante de los anillos no Ufd en el caso general, o simplemente no Euclidiana.)

Answer 1

Primero de todo, tenga en cuenta que $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] = \{ a + \sqrt{d}b \mid a,b \in \mathbb{Z} \}$ no es siempre igual a la habitual anillo de cuadrática enteros $\mathcal{O}(\sqrt{d})$, que consisten en el más grande de la sub-anillo de $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ para que su intersección con la a $\mathbb{Q}$ es de los enteros. Si $d \equiv 1 \pmod{4}$,$\mathcal{O}(\sqrt{d}) = \{ a + b \frac{1 + \sqrt{d}}{2} \mid a,b \in \mathbb{Z}\} = \{ a' + b' \sqrt{d}\}$, con tanto $a', b'$ enteros, o ambas $a',b'$ un entero plus $\frac{1}{2}$.

Voy a suponer que la norma que debemos usar es $|a + b \sqrt{d} = a^2 - d b^2 = (a - \sqrt{d}b)(a + \sqrt{d}b)$, lo cual es claramente multiplicativo

Para $\mathcal{O}(d)$, entonces es un dominio Euclídeo para $d = -11,-7,-3,-2,-1$, pero si consideramos $\mathbb{Z}(\sqrt{d})$, es, de hecho, acaba de $d = -1,-2$. Esto puede ser visto geométricamente. Estos enteros forman una cuadrícula rectangular, y para cualquiera (no necesariamente entero) en este punto de la cuadrícula, hay siempre un número entero dentro de una distancia de más de $|\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{d}|$. Para $d = -1,-2$, esto le da a $\frac{1}{2}$$\frac{3}{4}$. Si ahora nos dividir un número $a = a_1 + a_2 \sqrt{d}$ $b = b_1 + b_2 \sqrt{d}$ , entonces obtenemos un punto racional $c = c_1 + c_2 \sqrt{d}$ en la red, y debe existir un número entero punto a una distancia de menos de 1. Por lo tanto, tienen $$ \frac{a}{b} = c_1 + c_2 \sqrt{d} = q_1 + q_2 \sqrt{d} + r_1 + r_2 \sqrt{d} $$ con $q_1,q_2$ enteros, y $r_1,r_2 \in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$. Ahora $$ a = bq + br $$ y desde $|br| = |b||r| < |b|$, la distancia euclídea propiedad está satisfecho.

Ahora para $d = -3,-5,\dots$, entonces el punto de $1 + \sqrt{d}$ dividido por 2 da un punto en el centro de un entramado rect, por lo que la distancia de este punto a cualquier punto entero es al menos 1. Es, por tanto, no es posible escribir $1 + \sqrt{d}$$2q + r$,$|r| < 2$, lo que contradice la definición de un dominio Euclídeo.