¿Es obvio esta identidad algebraica? \sum_{i=1}^n \prod_{j\neq $i} {\lambda_j\over \lambda_j-\lambda_i}=1$

Question

Si $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ son distintos los números reales positivos, entonces $$\sum_{i=1}^n \prod_{j\neq i} {\lambda_j\\lambda_j-\lambda_i}=1.$$ Esta identidad se deduce del cálculo de la probabilidad de que usted puede encontrar en el la parte superior de la página 311 en la 10ª edición de Introducción a los Modelos de Probabilidad de Sheldon Ross.

Hay una mancha o explicación obvia para esta identidad?

Esta pregunta es algo similar a mi anterior problema; claro que el álgebra no es mi fuerte!

Answer 1

Es la interpolación de Lagrange polinómica de la función constante $1$ evaluado en $0$: $$\sum_{i=1}^n 1 \prod_{j\neq i} {{\lambda_j-0}\over \lambda_j-\lambda_i}=1$$

En general, usted tiene que el polinomio a continuación interpola los puntos de datos $(\lambda_i,y_i$): $$\sum_{i=1}^n y_i \prod_{j\neq i} {{\lambda_j-x}\over \lambda_j-\lambda_i}$$

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial