Según la Wikipedia "la categoría de suave colectores con el suave mapas carece de ciertas propiedades deseables"(http://en.wikipedia.org/wiki/Differentiable_manifold#Generalizations). ¿Cuáles son estas propiedades deseables y por qué debería un aparejador de atención?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una de ellas es que la categoría de suave colectores no tiene pullbacks; en particular, la intersección de dos liso submanifolds de un buen colector no es necesariamente un suave colector, e incluso cuando lo es, no tiene necesariamente el comportamiento correcto (por ejemplo, la suma de codimension). En general, sólo se pueden tomar las intersecciones como esta bajo la transversalidad de hipótesis, de modo que cuando usted quiere tomar tales intersecciones (por ejemplo, para relacionarlos con la copa del producto) que usted necesita para perturbar los colectores involucrados ligeramente. La transversalidad de problemas puede ser molesto a tratar; no estoy familiarizado con los detalles, pero me han dicho que los cultivos en Floer teoría y Gromov-Witten teoría, por ejemplo. Una manera de motivar a ciertos sabores de derivados de la geometría diferencial es que en los contextos siempre podemos tomar las intersecciones de tener las propiedades correctas (por ejemplo, codimensions comportándose de la manera correcta) sin tener que lidiar con la transversalidad de los problemas. Véase, por ejemplo, el trabajo de Dominic Joyce.
Otra es que la categoría de suave colectores no tiene exponencial de los objetos; esto es, dados dos (finito-dimensional) liso colectores $M$ $N$ no hay manera natural a su vez el espacio de suave mapas de $M \to N$ en un (finito-dimensional) liso colector de sí mismo. Esto sería una gran cosa que hacer si usted podría hacer por un número de razones; ya el caso de que $M = S^1$ (por lo que la construcción de bucle libre los espacios de $LN$) es de gran interés en relación con, por ejemplo, la cadena de la topología, el índice de teoría, bucle de grupos, elíptica cohomology...
