Probar por inducción que $5^n - 1$ es divisible por $4$.

Question

Demuestra por inducción que $5^n - 1$ es divisible por $4$.

¿Cómo debo usar la inducción en este problema? ¿Tiene alguna pista para resolver este problema?

Muchas gracias.

Answer 1

$\displaystyle{5^{n + 1} - 1 = \left(5^{n} - 1\right)5 + 4}$

Answer 2

Es aún más general:

$k$ divide a $(k+1)^n-1$ con $k,n \in \mathbb{N}$

simplemente por aritmética modular:

$$k+1 = 1 \mod {k} \\ \Downarrow \\(k+1)^n=1 \mod {k}$$

Answer 3

Para demostrar por inducción, debes:

1. Suponer que la proposición es verdadera para n

2. Mostrar que si es verdadera para n, entonces también es verdadera para n+1

3. Mostrar que es verdadera para n=1

Entonces sabrás que será verdadera para todos los números naturales.

En este caso:

1. Suponer que $5^n-1$ es divisible por 4

2. Decir que $m=5^n$, así que $m-1$ es divisible por 4

   • $5^{n+1}-1$ = $5m - 1$
   • $5m - 1$ = $5(m-1) + 4$
   • Dado que $m-1$ es divisible por 4 y 4 es divisible por 4, entonces esta expresión es divisible por 4.

3. Para $n=1$, $5^1 - 1 = 4$, lo cual es divisible por 4

Y ahí lo tienes...

Answer 4

Esto no es por inducción, pero creo que es una demostración agradable de todos modos, ciertamente más esclarecedora: $\displaystyle 5^n-1=(1+4)^n-1=\sum_{k=0}^n {n\choose k}4^k-1=1+\sum_{k=1}^n {n\choose k}4^k-1=\sum_{k=1}^n {n\choose k}4^k$ lo cual es claramente divisible por $4$.