Probar por inducción que $5^n - 1$ es divisible por $4$.

Question

Demuestra por inducción que $5^n - 1$ es divisible por $4$.

¿Cómo debo usar la inducción en este problema? ¿Tiene alguna pista para resolver este problema?

Muchas gracias.

Answer 1

Probamos que para todo $n \in \mathbb{N}$, $4$ divide a $\left( 5^n-1 \right)$. (En notación, esto significa que $4$ divide a $5^n-1$ con un residuo de cero).

1. Como base, tomamos $n=1$. Entonces $$5^1-1=4,$$ y claramente $4\mid4$.

2. Supongamos que $5^n-1$ es divisible por $4$ para $n=k, \, k \in\mathbb{N}$. Luego, por esta suposición, $$4 \mid \left( 5^k-1 \right) \Rightarrow 5^k-1=4m, \, m \in \mathbb{Z}.$$ (Esto significa en notación que $5^k-1$ es un múltiplo entero de $4$.)

3. Tomamos $n=k+1$. Entonces $$\begin{align*} 5^{k+1}-1 &= 5^k \cdot 5-1 \\ &=5^k(4+1)-1 \\ &=4\cdot 5^k+5^k -1 \\ &=4\cdot5^k+4m\\ &=4\left( 5^k+m \right). \end{align*}$$ Dado que $4\mid4\left( 5^k+m \right)$, podemos concluir, por el axioma de inducción, que la propiedad se cumple para todo $n \in \mathbb{N}$.

Answer 2

Primero prueba el caso base $n=1$. Luego haz inducción y utiliza el hecho de que $$(5^{n+1}-1) - (5^n-1) = 4 \cdot 5^n$$ para concluir lo que deseas.

Answer 3

Sin inducción, puedes usar la identidad

$$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$$

Por supuesto, aún necesitarías inducción o algo para probar esta identidad.

Answer 4

Sin inducción $$5^n-1=(4+1)^n-1$$ $$=4^n+n4^{n-2}+...+1-1$$ el único término en $(1+4)^n$ que no está multiplicado por una potencia de $4$ es $1$ pero desaparece debido al $-1$.

Answer 5

¿Por qué inducción? $5^n$ termina en $\dots25$ para $n>1$, por lo que $5^n-1$ termina en $\dots24$.