Deje $\gamma$ ser un arclength parametrización de la curva, por lo que el $\Delta_{\rm LB} u = \frac{d^2}{dt^2}(u \circ \gamma)$. A partir de la definición de la curva que nos ha $s \circ \gamma = 0$, por lo que la diferenciación de dos veces obtenemos las ecuaciones
$$\langle \nabla s , \dot \gamma \rangle = 0 \; \text{y} \;
\nabla^2 s(\dot \gamma \dot \gamma) + \langle \nabla s, \ddot \gamma\rangle = 0.
$$
Desde $\gamma$ es la unidad de velocidad conocemos $\langle \dot \gamma, \ddot \gamma \rangle = 0$ e lo $\ddot \gamma$ $\nabla s$ son paralelos; por lo que poner esto juntos conseguimos
$$\ddot \gamma = \frac{\langle\ddot \gamma \nabla s\rangle \nabla s }{|\nabla s|^2 }
= \frac{-\nabla^2 s(\dot\gamma\dot\gamma)}{|\nabla s|^2}\nabla s.
$$
Desde $|\dot\gamma|=1$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\dot \gamma = \frac{J \nabla s}{|\nabla s|}$ donde $J$ es hacia la derecha o hacia la izquierda rotación por $\pi/2$. (Resulta que no importa qué.) Ahora podemos escribir $\dot \gamma$ $\ddot \gamma$ en términos de los derivados de la $s$, por lo que el Laplaciano es
$$ \frac{d}{dt}( \nabla u \cdot \dot \gamma ) = \nabla^2 u( \dot \gamma, \dot \gamma) + \nabla u \cdot \ddot \gamma = \frac{\nabla^2 u ( J \nabla s, J \nabla s ) }{|\nabla s|^2} - \frac{\nabla^2 s(J \nabla s,J \nabla s)}{|\nabla s|^4}\langle\nabla s,\nabla u\rangle.$$
Si definimos el operador $Q(f) = \frac{\nabla^2 f ( J \nabla s, J \nabla s ) }{|\nabla s|^2}$ (que es simplemente la derivada segunda de $f$ en la dirección tangente a $\gamma$), esto es más fácil de entender:
$$ \Delta_{\rm LB} u = Q(u) - Q(s)\frac{\langle \nabla s, \nabla u \rangle}{|\nabla s|^2}.$$
El primer término es la segunda derivada a lo largo de la línea tangente a la curva de nivel de $s$ y el segundo término representa la desviación de la curva de nivel de esta línea recta.
