¿Cómo se puede calcular el grupo de Galois de este inusual extensión?

Question

Sido revisión de la teoría de Galois, y la computación de Galois de los grupos ha sido relativamente rutinaria, pero una que me tiene perplejo.

Supongamos $\omega$ es una primitiva 37º de la raíz de la unidad. Vamos a establecer $\alpha=\omega+\omega^{10}+\omega^{26}$. Quiero calcular el grupo de Galois de $\mathbf{Q}(\alpha)/\mathbf{Q}$.

Me doy cuenta de que $\mathbf{Q}(\alpha)\subseteq\mathbf{Q}(\omega)$, lo $[\mathbf{Q}(\alpha):\mathbf{Q}]$ debe dividir $[\mathbf{Q}(\omega):\mathbf{Q}]=\varphi(37)=36$. De modo que el orden de la Galois grupo debe ser un divisor de 36, pero eso es todo lo que he conseguido.

¿Cuál es el truco para encontrar este grupo de Galois? Gracias!

Edit: Cualquier automorphism tiene que asignar $\omega$ $\omega^k$donde $(k,37)=1$. Me di cuenta de que los mapas de envío de $\omega\mapsto\omega^{10}$ $\omega\mapsto\omega^{26}$ fix $\alpha$. ¿Dónde puede uno ir de allí?

Answer 1

El que tiene bastante respondió a su propia pregunta! En efecto, supongamos $\sigma \in \text{Gal}(\mathbf{Q}(\omega)/\mathbf{Q})$ es tal que $\sigma \alpha = \alpha$. Como usted señaló, $\sigma \omega = \omega^k$ algunos $k$$(k, 37)=1$. Luego tenemos a $\omega^k + \omega^{10k} + \omega^{26k} = \omega+\omega^{10}+\omega^{26}$. Esto implica $\{k,10k,26k\}=\{1,10,26\}$ mod $37$, por la independencia lineal de $\{1, \omega, \dots, \omega^{36}\}$. En particular, hemos cualquiera de las $k=1, 10k=1$ o $26k=1$. Por lo tanto $k=1, k=10$ o $k=26$, y una verificación rápida de la muestra que todos estos trabajos. Por lo tanto...