Tridimensional simple álgebras de Lie sobre los racionales

Question

Deje $\mathfrak g$ ser tridimensional $\mathbf Q$-vectorspace dotado de la estructura de una simple Mentira álgebra. ¿Cuántos no isomorfos tal $\mathfrak g$ hay?

Sobre los números complejos, la respuesta es 1, mientras que por encima de los reales hay dos personas que no son isomorfos.

Answer 1

Hay infinitamente muchos. Como ustedes saben, hay dos personas que no son isomorfos en tres dimensiones álgebras de Lie sobre$\mathbb R$, que coincide más $\mathbb C$: $\mathfrak {sl}_2(\mathbb R)$ y $\mathfrak {su}(2)$. Para entender lo que sucede en el $\mathbb Q$, tenga en cuenta que $\mathfrak {su}(2)$ es la derivada de subalgebra de la álgebra de cuaterniones $\mathbb R$ (que es de cuatro dimensiones, con un uno-dimensional en el centro).

Así que, ¿cuántos no isomorfos álgebras de cuaterniones hay más de $\mathbb Q$? Hay infinitamente muchos, aunque esto no es trivial. Para cada conjunto de $S$ de los valores absolutos de $\mathbb Q$ (que son el real y el $p$-ádico valores absolutos), existe una única álgebra de cuaterniones $D$ $\mathbb Q$ tal que para cada $\nu\in S$, $D\otimes_\mathbb Q\mathbb Q_\nu$ es el único álgebra de cuaterniones $\mathbb Q_\nu$ (aquí se $\mathbb Q_\nu$ indica la finalización de $\mathbb Q$ con respecto a el valor absoluto $\nu$) y para cada $\nu\not\in S$, $D\otimes_\mathbb Q\mathbb Q_\nu\simeq M_2(\mathbb Q_\nu)$, y todas estas álgebras de cuaterniones surgir en este camino. Esto es esencialmente una aplicación de la reciprocidad cuadrática (interpretado en términos de Hilbert símbolo).

Por supuesto, la Mentira de álgebra asociada a $D$ es de cuatro dimensiones (y tiene un uno-dimensional en el centro), a fin de tomar la derivada subalgebra de $D$ o, de manera equivalente, tomar los elementos en $D$ con "la reducción de la" huella cero para obtener una imagen tridimensional de simple álgebra. Yo no puedo descartar la existencia de otras álgebras (las de arriba son las "formas internas" de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb Q)$, podría no ser isomorfo "formas", pero esto está fuera de mi competencia)