Significado físico del ímpetu angular

Question

Sigue leyendo la Mecánica clásica de Goldstein, estoy luchando en una noción muy básica: el momento angular. Físicamente tengo entendido como el impulso de un objeto rota alrededor de algo dado de una determinada posición. Sin embargo, no puedo dar una explicación física a la fórmula. ¿Por qué multiplicamos el ímpetu linear de la posición? ¿Por qué el ímpetu angular es una función de la posición?

Answer 1

Yo físicamente entender como el impulso de un objeto giratorio alrededor de algo que se da una cierta posición. Sin embargo, no le puedo dar un explicación física a la fórmula. ¿Por qué tenemos que multiplicar el lineal el impulso por la posición? ¿Por qué el momento angular es una función de la posición?

1) - momento Angular $L = vm * r$ (p * r = brazo de la palanca)

(Esta es una tardía respuesta, pero espero que aún puede dar una mejor y más clara comprensión de la cuestión, me imagino que el teorema de Noether no resolver sus problemas):

Es muy simple: en la otra pregunta que se ha entendido el concepto de momento lineal, ahora sólo tienes que unirte al concepto de la palanca.

Imagino que la bola de B es la misma bola que en el lineal, impulso pregunta (m = 2 Kg) viajaba a v = 3 m/s y tuvo el impulso = 6 Kg m/s.

Imagine que tiene una línea y un gancho de colgar y que este gancho se ve atrapado por una estaca F. ¿Qué sucederá? B comenzará a rotar alrededor del punto de apoyo F (dibujo de la izquierda). La dirección del movimiento será perpendicular al radio de la (línea), por lo tanto, el ángulo es de 90° y de su seno será +1.

En este nuevo escenario (dibujo a la derecha de la misma como en una palanca) el par de torsión ejercida depende también de la radio, la distancia del cuerpo desde el punto de apoyo que es el brazo de la palanca. La magnitud del par de torsión depende del valor de r. Un peso de 6 kg se ejerce un par de torsión de 12 Nm a una distancia de 2 m, y usted tendrá el equilibrio sólo si usted pone (en el otro brazo) un peso de 6 Kg en 2 m y un peso de 12 Kg a 1 m.

Si usted entiende el concepto de la palanca, se puede comprender fácilmente la explicación física de la fórmula del momento angular. De la misma manera, si B (m = 2) está girando en el sentido contrario a v = 3 m/s (momento lineal = 6) a una distancia de 2 m desde el punto de apoyo que tendrá de momento angular (6 * 2 =) 12 Kg * m²/s). Si la línea de colgantes de B había sido sólo 1 m de largo, la magnitud de L habría sido (6 * 1) = 6.

Del mismo modo, si otro cuerpo (m =2, v = 3, p = 6) rotación de las agujas del reloj en el otro brazo, no habrá equilibrio, aunque la masa, la velocidad y el momento lineal son los mismos; lo mismo sucedería si una fuerza de 6 N se aplica en r = 2m y otra fuerza opuesta de 6N se aplica en r = 1m. Tenga en cuenta que B había momentum angular con referencia a F , incluso antes de que él comenzó a girar a su alrededor a lo largo de su trayectoria, y siempre lo fue (p * r) = $12 Kg * m^2/s$.

2) Definición de L

Un cuerpo B con la velocidad (lineal y momentum) tiene un potencial de rotación impulso L con referencia a/alrededor de cualquier punto/cuerpo O que no se encuentran en su trayectoria.

La magnitud de L se puede encontrar multiplicando su momento lineal (p = m*v) por la distancia del punto O de la trayectoria: $r$. En el pleno de la fórmula: $L = m * [v * sinλ * d]$, L se obtiene multiplicando la masa por la velocidad tangencial $V_t = v * sinλ$ veces la distancia $d$, pero $d * sinλ$ es siempre igual a $r$

3) - la Conservación del momento angular

el momento angular L se conserva si no par externo es ejercido sobre el sistema, y esta propiedad ayuda a comprender la importancia de la radio. Cuando el cuerpo B está enlazado a O por una línea/varilla o por un no-fuerza de contacto (como g) se comienza a rotar en torno a ella y adquiere real de rotación impulso L.

Si, mientras que la rotación alrededor de O, B impactos con una similar balón (m =2, v = 0), B deja de muertos y adquiere el mismo v/p/E, y el potencial de L con referencia al punto F, si choca con la lenteja de un péndulo (m = 2, r = 2) adquirirá mismo v/p/L/E. Si la línea/varilla del péndulo $r_p = k$, p se conserva, pero $L_p$ se convertirá en L * k/r.

Este es un ejemplo sencillo en el que el cuerpo se considera un punto de masa de rotación de la circunferencia, si la masa está distribuida a lo largo del radio, entonces tenemos que aplicar una fórmula diferente $ L = I * \omega$, donde $ω = v/r$ y $I = m *r^2$. P no se conserva, pero KE y L son, de esta manera podemos averiguar el resultado de la colisión. Usted puede encontrar un ejemplo sencillo de conservación de L aquí

Answer 2

En última instancia, ¿qué tiene de especial el momento angular es este:

• Buscar en el cielo. Un determinado conjunto de leyes físicas se refieren en esa dirección.
• Mira hacia el norte. Un determinado conjunto de leyes físicas se refieren en esa dirección.
• Mira hacia el oeste. Un determinado conjunto de leyes físicas se refieren en esa dirección.

Esas leyes físicas: son las mismas en todas las direcciones. Subyace una cantidad conservada cuando encuentras una simetría como este. Un concepto similar se aplica si usted toma un viaje a China, Proxima Centauri, la galaxia de Andrómeda, o incluso más. Aquí las leyes de la física son las mismas independientemente de la traducción. Lo que sobre el tiempo? Parpadeo de sus ojos y las leyes de la física no cambian. La edad de 80 años, y las leyes de la física no cambian. Las leyes de la física son atemporales.

La atemporalidad de las leyes de la física significa que la energía es una cantidad conservada. La traslación de la independencia de las leyes de la física significa que el momento lineal es una cantidad conservada. Finalmente, la rotación de la independencia de las leyes de la física significa que el momento angular es una cantidad conservada. Todas estas son consecuencias del teorema de Noether. Hay un número de otras conservas cantidades que resulten a partir del teorema de Noether, y esto resultó ser muy importante para la mecánica cuántica. Esto es obviamente crítica a la mecánica clásica así. El teorema de Noether explica exactamente por qué los conservados cantidades que se conservan.

Momento Angular sería bastante inútil, concepto de si el momento angular no era una cantidad conservada en la ausencia de pares externos. Es una cantidad conservada gracias a la simetría rotacional de espacio.

Answer 3

¿Por qué el momento angular depende de la posición?

El momento Angular de siempre se define en relación a un punto de referencia, decir $\mathbf r_0$, (que es a menudo, pero no necesariamente el origen).

Si el sistema es invariante bajo de rotación alrededor de este punto de referencia la cantidad a la que llamamos "momento angular con respecto a $\mathbf r_0$" se conserva. (Tenga en cuenta que si sólo una rotación alrededor de un cierto eje deja el sistema sin cambios, sólo este componente del momento angular se conserva).

Así que desde el momento angular depende de un punto de referencia no es una sorpresa que el momento angular explícitamente depende de la posición.

¿Cómo funciona esto de la conservación de momento angular en el trabajo?

La respuesta abstracta ofertas con el teorema de Noether y el Lagrangiano del sistema que están mirando. Por simplicidad, vamos a mirar un único punto de partícula que se mueve sobre una línea recta.

Tenga en cuenta que, incluso una partícula libre que se mueve en una línea recta tiene un no-cero, el momento angular con respecto a ciertos puntos de referencia. De hecho, el momento angular es sólo el cero, si el impulso y la conexión entre el punto de referencia son paralelas (es decir, el punto de referencia está en el camino de la partícula).

El Teorema de Noether para una partícula libre en virtud de la rotación

Vamos a utilizar esta partícula libre para ver donde esta la conservación de la $\mathbf x\times \mathbf p$ viene. El Lagrangiano es la energía cinética. Si hacemos girar las coordenadas en torno al origen y a lo largo del eje fijo de $\mathbf$ n por el ángulo $\varphi$. La energía cinética (de Lagrange) no debe depender de que el ángulo de rotación.

Deje que el girado las posiciones dadas por $\mathbf x'$. La energía cinética es $\frac 12 m \dot {\mathbf x'}^2(\varphi)$, por lo que nuestra condición de que la energía cinética es independiente de $\varphi$ puede ser escrita como:

$$\frac {\mathrm d(m \dot {\mathbf x'}^2(\varphi))}{\mathrm d\varphi}= \mathbf p \frac{\mathrm d \dot {\mathbf x'}(\varphi)}{\mathrm d \varphi} =0 \,,$$

puesto que no hay fuerzas que actúan sobre la partícula libre ($\dot{\mathbf p}=0$), podemos escribir esto como: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\mathbf p \frac{\mathrm d {\mathbf x'}(\varphi)}{\mathrm d \varphi}\right) = 0\,.$$

¿Cómo $\mathbf x'$ cambio con el ángulo? Echa un vistazo al capítulo sobre rotaciones infinitesimales y usted debe encontrar algo como $$\mathbf x' = \mathbf x + \varphi (\mathbf n \times \mathbf x)$$

Calcular la derivada y conectarlo en la ecuación anterior conduce a:

$$\frac {d}{dt}\left(\mathbf p\frac {d({\mathbf x + \varphi (\mathbf n \times \mathbf x)})}{d \mathbf \varphi}\right) = \frac {d}{dt}\mathbf p \cdot (\mathbf n \times \mathbf x) = \frac {d}{dt}\mathbf n \cdot (\mathbf x \times \mathbf p)=0$$

Que nos dice, que el $\mathbf n$-componente de $\mathbf x \times \mathbf p$ no cambian con el tiempo (es decir, se conserva). En este caso esto es cierto para los ejes arbitrarios,lo que significa que el momento angular de $\mathbf L = \mathbf x \times \mathbf p$ es conservada.

Answer 4

Considerar algo como una puerta. Un trozo de madera con un gancho en uno de los bordes. Tal vez es de un metro de altura y tres metros de largo.

Ahora digamos que usted está tratando de mantener la puerta en su lugar, en la posición de medio metro de la bisagra, mientras que otra persona lanza una pelota de béisbol en el otro lado de la puerta.

Si la pelota golpea la bisagra, usted no tiene que empujar a todos.

Si la pelota golpea justo en frente de donde usted está empujando la puerta, usted tiene que empujar una buena cantidad.

Si la pelota golpea a la derecha en el de tres metros de marcos de la puerta, lejos de la bisagra, tendrás que presionar mucho más. (piense en conseguir su dedo pinchado en una puerta)

Aunque el impulso de la pelota de béisbol fue el mismo en los tres casos, en el primer caso (si $r=0$ corresponde a la bisagra) usted no tiene que aplicar el par de torsión$\cdot$tiempo. En la segunda había que aplicar una pequeña par$\cdot$tiempo. En la tercera había que aplicar una gran par$\cdot$tiempo.

Esto puede ser formulada, matemáticamente, como la cancelación del momento angular del sistema. Por supuesto, las cosas se ponen menos intuitiva, si usted no elige la bisagra para que sea su origen, por lo que usted tiene que trabajar y hacer algo de matemáticas para demostrar que los resultados físicos son los mismos. En realidad, sin embargo, esto es tan intuitivo como el momento lineal de ser dependiente en el marco de referencia (por ver el sistema en un marco con una diferente velocidad) y, en mi opinión, millas más intuitiva que la energía depende de tu marco de referencia!

Answer 5

Hay varias maneras de describir una partícula de movimiento. Por ejemplo, en 2 dimensiones, se podría utilizar cartesiano $x,y$ coordenadas polares o $r,\varphi$ coordenadas.

Para cada coordenada, podemos asociar una "cantidad de movimiento "o"generalizada impulso'. Si una determinada coordenada corresponde a una simetría del sistema, la cantidad correspondiente se conserva por el teorema de Noether.

Porque la física funciona de la misma manera 'aquí' como 'allí' (es decir, cambio de $x$ o $y$), el momento lineal se conserva. Porque la física también funciona de la misma manera sin importar la orientación del sistema (es decir, cambio de $\varphi$), el momento angular también es una cantidad conservada.

Sin embargo, la componente radial no corresponde a una simetría (cambiando el $r$ coordenadas resultados en la distorsión), de modo radial impulso es, en general no se conserva.

Ahora, volviendo a tu pregunta:

Por qué no es el momento angular es una función de la posición?

Intuitivamente, la posición contribuye a momento angular porque al cambiar el ángulo de coordinar el resultado será muy diferente "cantidad de movimiento" dependiendo de la distancia radial desde el origen.