Imparcial Estimador para un Uniforme de la Variable de Apoyo

Question

Deje $ x_i $ ser iid observaciones en una muestra de una distribución uniforme sobre $ \left[ 0, \theta \right] $. Ahora necesito para estimar el $ \theta $ $N$ observaciones y quiero que el estimador sea imparcial.

Pensé simple estimador $ \hat{\theta} = \max \left( x_i \right) $.

Basados en la simulación no es sesgada, sin embargo, no podía mostrar analíticamente.

Podría alguien, por favor, demostrar que es imparcial?

Por CIERTO, me podría encontrar fácilmente otro, fácil para probar e imparcial estimador, $ \hat{\theta} = 2 \mathrm{mean} \left( {x}_{i} \right) $

Answer 1

De curso $\hat\theta=\max\{x_i\}$ es sesgada, simulaciones o no, ya que la $\hat\theta<\theta$ con total probabilidad, por lo tanto, uno puede estar seguro de que, para cada $\theta$, $E_\theta(\hat\theta)<\theta$.

Por lo general, más bien considera $\hat\theta_N=\dfrac{N+1}N\max\{x_i\}$, $E_\theta(\hat\theta_N)=\theta$ por cada $\theta$.

Para mostrar que $\hat\theta_N$ es imparcial, se debe calcular la expectativa de $M_N=\max\{x_i\}$, y la forma más sencilla de hacerlo podría ser que se tenga en cuenta que para cada $x$ en $(0,\theta)$, $P_\theta(M_N\le x)=(x/\theta)^N$, por lo tanto $$ E_\theta(M_N)=\int\limits_0^{\theta}P_\theta(M_N\ge x)\text{d}x=\int\limits_0^{\theta}(1-(x/\theta)^N)\text{d}x=\theta\theta/(N+1)=\theta N/(N+1). $$

Edición (la de Abajo es una observación: debido a la @cardenal, que completa muy bien este post.)

Cabe señalar que el valor máximo del $M_N=\max\limits_{1\le k\le N}X_k$ de un yo.yo.d. Uniformes$(0,θ)$ muestra aleatoria es una estadística suficiente para $θ$ y que es una de las pocas estadísticas para las distribuciones fuera de la exponencial de la familia que también es completa.

Una consecuencia inmediata es que el $\hat\theta_N=(N+1)M_N/N$ es el uniforme de mínima varianza del estimador imparcial para $θ$, es decir, que cualquier otro estimador imparcial para $θ$ es el peor estimador en el $L^2$ sentido.

Answer 2

Otra manera de mirar el resultado derivado por Joriki:

Se sabe que si el fin de $N$ uniforme de observaciones en una muestra de un intervalo de tiempo dado, y el resultado es una partición del intervalo da un punto de la muestra de manera uniforme en el $(N+1)$-simplex.

En particular, la diferencia $\theta-\hat\theta$ tiene la misma distribución de cualquier componente de un punto al azar. En particular, es claro que se tiene la esperanza de $\theta/(N+1)$ (ya que, por simetría, todos los componentes tienen la misma expectativa).

Todo en todos: $$\mathbb{E}[\theta-\hat\theta] = \frac{\theta}{N+1},$$ y, de hecho,

$$\mathbb{E}[\hat\theta] = \frac{N}{N+1}\theta.$$

Editar: Si el mínimo del intervalo es desconocido (decir $[a,b]$), a continuación, llamando $\hat a$ el mínimo de la muestra y $\hat b$ el máximo, el mismo razonamiento muestra que $$\mathbb{E}[b-\hat b]=\frac{b-a}{N+1},$$ $$\mathbb{E}[\hat b]=\frac{N}{N+1}b+\frac{1}{N+1}a.$$

Y así para tener un estimador imparcial de la máxima $b$, se podrían utilizar, por ejemplo, $$\frac{N\hat b-\hat a}{N-1}.$$

Answer 3

Para derivar de Didier resultado, observe que la función de distribución acumulativa para la máxima $m$ está dado por la relación entre el volumen de $[0,m]^N$ el volumen de $[0,\theta]^N$,$(m/\theta)^N$. Por lo que la densidad es la derivada de la eso, y podemos calcular la expectativa de valor de $m$

$$ \begin{eqnarray} \int_0^\theta m\frac{\mathrm d}{\mathrm dm}\left(\frac m\theta\right)^N\mathrm dm &=& \frac N{\theta^N}\int_0^\theta m^N\mathrm dm \\ &=& \frac N{N+1}\theta\;, \end{eqnarray} $$

así, obtenemos un estimador imparcial para $\theta$ multiplicando por $(N+1)/N$.

Answer 4

Puede ser vale la pena notar un par de cosas sobre el otro estimador imparcial las mencionadas en la pregunta: $2\times\text{the sample mean}$.

(1) Si se encuentra el valor esperado condicional de $2\times\text{the sample mean}$ dado el ejemplo máximo, uno se $(N+1)/N$ veces el máximo de la muestra.

(2) En algunos casos, $2\times\text{the sample mean}$ es en realidad menor que el máximo de la muestra. Por lo tanto, aunque en promedio la cantidad correcta, hay casos en que los datos en sí decirle que no está en ninguna parte cerca de la cantidad correcta.