Cinta de moebius y $\mathscr O(-1)$. O $\mathscr O(1)$?

Question

En el real $\textbf P^1$ tenemos estos algebraica de la línea de paquetes: $\mathscr O(1)$$\mathscr O(-1)$.

Cual corresponde a la cinta de Moebius? (Ambos se $1$-giros de $\textbf P^1\times\textbf A^1$, entonces, ¿cómo distinguirlos? Sí, por medio de su transición de las funciones, pero ¿cómo me dicen que uno tiene la cinta de Moebius como espacio total?) Y lo que es el espacio total de la otra?

Sólo puedo imaginar que no orientability debe corresponder a la ausencia de global de las secciones, así que yo apostaría por $-1$, pero no hay ninguna razón real.

También, no lo puedo entender si para cada a $\mathscr O(d)$ le corresponde un diferente espacio total, o de repeticiones. Por supuesto, mediante la visualización de los paquetes como holomorphic haces, sólo hay dos superficies de hasta diffeomorphism. Pero, ¿qué acerca de la algebraicas categoría?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

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Esta es una respuesta corregido. Muchas gracias a Ben, quien señaló la idiotez de mi versión original.

Dado un campo arbitrario $k$, el grupo de Picard de $\mathbb P^1_k$ (que consiste en el isomorfismo de las clases algebraico de la línea de paquetes) es isomorfo a $\mathbb Z$ a través de la licenciatura mapa $$\text {deg} : \text {Pic} (\mathbb P^1_k) \stackrel {\cong }{\to} \mathbb Z ,$$ the inverse isomorphism being $$ \mathbb Z \stackrel {\cong }{\to} \text {Pic} (\mathbb P^1_k) :n\mapsto \mathscr O(n) $$ En el caso de $k=\mathbb R$ cosas se vuelven bastante interesante ya que los verdaderos puntos de $\mathbb P^1_\mathbb R (\mathbb R)$ de la línea proyectiva $\mathbb P^1_\mathbb R$ están dotadas con la estructura real de una variedad diferenciable diffeomorphic para el círculo de $S^1$.
Y que el colector tiene una diferenciable grupo de Picard $\text {Pic}^{\text {diff}} (\mathbb P^1(\mathbb R)) $ de orden dos generada por el paquete de Möbius $M$, por lo que tenemos un grupo de isomorfismo $$ \text {Pic}^{\text {diff}} (\mathbb P^1(\mathbb R)) \stackrel {\cong }{\to} \mathbb Z/2\mathbb Z: M\mapsto \bar 1 $$
Tenemos entonces un olvidadizo grupo homomorphism $\text {Pic} (\mathbb P^1_\mathbb R)\to \text{Pic}^{\text {diff}} (\mathbb P^1(\mathbb R)) $ olvidar la estructura algebraica de una línea de paquete y reteniendo sólo su estructura diferenciable.
En el sobre de identificación de este morfismos es sólo la reducción del modulo $2$: $$\text {Pic} (\mathbb P^1_\mathbb R)\to \text{Pic}^{\text {diff}} (\mathbb P^1(\mathbb R))\cong \mathbb Z: \mathscr O(n) \mapsto M^n\cong \bar n$$
En particular, tanto en $\mathscr O(1)$ $\mathscr O(-1)$ son enviados a la Möbius grupo, que responde a su pregunta (espero!)