Fundamentos de la medida de Haar

Question

Supongamos $G$ es localmente compacto grupo. A continuación, $G$ ha dejado invariantes medir el $dg$, dicen, lo que significa que $$\int f (hg) dg = \int f(g) fg$$ para cualquier prueba de función integrable en $G$. La izquierda-invariante medida es único hasta una constante positiva múltiples; por tanto, $$\int f (hg) dg = \delta(h) \int f(g) fg,$$ donde $\delta(h) > 0$ sólo depende de $h$ porque $dgh^{-1}$ es otra a la izquierda-invariante medida. El factor de $\delta(h)$ se llama el sistema modular de la funciónde $G$. Claramente $\delta : G \to \mathbb{R}^+$ es un grupo homomorphism, y también se muestra....

Me siento totalmente confundido acerca de la frase "por tanto ... porque $dgh^{-1}$ es otra a la izquierda-invariante de la medida". ¿Cuál es la razón para que "por lo tanto"? ¿Por qué es $dgh$ izquierda-invariante de la medida? (Parece que a la derecha de la multiplicación...) También confundido acerca de por qué la $dgh^{-1}$ es una izquierdainvariante en la medida y por qué, porque de este hecho, $\delta(h)>0$ sólo depende de $h$.

Espero que alguien podría explicar en detalles. Muchas gracias!

Answer 1

Un buen lugar para comenzar es para asegurarse de que las definiciones de las cosas están claras.

1. Una medida $\mu$ $G$ se deja invariante si para cada función de prueba de $f$ y cada una de las $h\in G$ ha $\int f(hg)\,d\mu(g) = \int f(g)\,d\mu(g)$.
2. Si $dg$ es la medida de Haar en $G$ $h_0\in G$ es un elemento fijo, entonces la medida de $dgh_0^{-1}$ es por definición dada por $\int f(g)\,dgh_0^{-1} := \int f(gh_0)\,dg$ para todas las funciones de prueba de $f$.

Para mostrar la medida de $dgh_0^{-1}$ es de izquierda invariante para cualquier fija $h_0\in G$, debemos comprobar que la condición de la definición (1) se mantiene. Para cualquier $h\in G$ y cualquier función de prueba de $f$ que $$\int f(hg)\,dgh_0^{-1} := \int f(hgh_0)\,dg = \int f(gh_0)\,dg := \int f(g)\,dgh_0^{-1}.$$ The first and third equalities are by definition, and the second is because $dg$ is left invariant. This proves $dgh_0^{-1}$ se deja invariante.

Es un hecho (que se supone en el problema) que toda la izquierda invariante positivo de medida $\mu$ $G$ es un múltiplo de la Distancia medida, es decir, $\mu = \delta dg$ algunos $\delta>0$ dependiendo $\mu$. Hemos demostrado que $dgh_0^{-1}$ se deja invariante para cualquier fija $h_0\in G$, por lo que hay un $\delta>0$ dependiendo $h_0$ tal que $dgh_0^{-1} = \delta dg$.