Una versión racional del problema $\frac{a^2+b^2}{1+ab}$

Question

Hay tantas versiones de Prueba alternativa de que $(a^2+b^2)/(ab+1)$ es un cuadrado cuando es un entero alrededor de que probablemente lo que estoy preguntando también es un duplicado. Bueno, en ese caso, simplemente márquelo como un duplicado.

Lo que me pregunto es para qué pares $(a,b)$ es $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ un cuadrado perfecto $\textit{en $\mathbb Q$}$?

Aquí está lo poco que he podido observar experimentalmente.

Los racionales de la forma $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{ab+1}}$ que ocurren para $a,b\leqslant500$ son $1,\frac{7}{5},\frac{41}{29},\frac{239}{169},\frac{338}{239},\frac{58}{41},\frac{17}{12},\frac{10}{7},\frac{140}{97},\frac{13}{9},\frac{37}{25},\frac{58}{39},\frac{106}{71},\frac{3}{2},\frac{65}{43},\frac{50}{33},\frac{29}{19},\frac{17}{11},\frac{374}{241},\frac{21}{13},\frac{377}{229},\frac{5}{3},\frac{52}{31},\frac{91}{54},\frac{377}{219}$, $\frac{500}{287},\frac{298}{169},\frac{74}{41},\frac{13}{7},\frac{17}{9},\frac{25}{13},\frac{241}{121},2,\frac{65}{32},\frac{260}{127},\frac{15}{7},\frac{41}{19},\frac{20}{9},\frac{202}{89},\frac{5}{2},\frac{13}{5},\frac{155}{58},\frac{113}{41},3,\frac{25}{8},\frac{73}{19},4,5,6,7$ (algunos de ellos aparecen varias veces para diferentes pares $(a,b)$). Parece que no todos los racionales se pueden obtener, pero estoy muy lejos de estar seguro sobre eso.

Agrupemos los pares anteriores en capas, es decir, preguntemos, para cada $d=0,1,2,...$, cuál es el subconjunto $S_d:=\{a\in\mathbb N\mid \text{$\frac{a^ 2+(a+d)^2}{a(a+d)+1}$ es un cuadrado perfecto en $\mathbb Q$}\}$ de $\mathbb N$.

Haber mirado hasta $a=100000$ da algo que parece bastante impenetrable, al menos para mí: $$ \begin{array}{r|l} d&S_d\\ \hline 0&\{1,7,41,239,1393,8119,47321,...\}\\ 1&\varnothing?\\ 2&\{6,40,238,1392,8118,47320,...\}\\ 3&\varnothing?\\ 4&\varnothing?\\ 5&\varnothing?\\ 6&\{1,2,9,26\}?\\ 7&\{8\}?\\ 8&\varnothing?\\ 9&\varnothing?\\ 10&\varnothing?\\ 11&\{8,32\}?\\ 12..15&\varnothing?\\ 16&\{7\}?\\ 17&\{7\}?\\ 18..21&\varnothing?\\ 22&\{8\}?\\ 23&\{33\}?\\ 24&\{3\}?\\ 25..27&\varnothing?\\ 28&\{20,84\}? \end{array} $$ La secuencia $1,7,41,239,...$ para $S_0$ aparece en OEIS como A002315 y satisface $a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}$; $S_2$ parece ser $S_0-1$. No tengo ni idea sobre el resto.

¿Alguna idea?

Answer 1

Decidí hacer una lista de un caso especial, cuando $A^2 x^2 - B^2 xy + A^2 y^2 = 1$ tiene una solución entera, lo que significa que la forma es la forma principal. Oh, $\gcd(A,B) = 1$ y $A < B \sqrt 2.$ Para esta lista, $A^2 x^2 - B^2 xy + A^2 y^2 = B^2$ es automáticamente posible, esa era la pregunta original. Obtenemos muchos $B$ divisibles por primos $q \equiv 3 \pmod 4;$ cuando esto sucede, $B^2$ será representado, pero no de forma primitiva. Como esta forma de escritura da límites muy diferentes, obtenemos algunas fracciones aún no listadas en la pregunta original, como $7/2$ y $7/3.

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jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ 
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle 4 -49 4

  0  forma              4         -49           4  delta     -1
  1  forma              4          41         -41

           0          -1
           1          -1

Para Devolver  
          -1           1
          -1           0

0  forma   4 41 -41   delta  -1
1  forma   -41 41 4   delta  11     ambiguo  
2  forma   4 47 -8   delta  -5
3  forma   -8 33 39   delta  1
4  forma   39 45 -2   delta  -23
5  forma   -2 47 16   delta  2
6  forma   16 17 -32   delta  -1
7  forma   -32 47 1   delta  47
8  forma   1 47 -32   delta  -1     ambiguo  
9  forma   -32 17 16   delta  2
10  forma   16 47 -2   delta  -23
11  forma   -2 45 39   delta  1
12  forma   39 33 -8   delta  -5
13  forma   -8 47 4   delta  11
14  forma   4 41 -41

  forma   4 x^2  + 41 x y  -41 y^2 

mínimo fue   1rep   x = 4858   y = 5293 disc 2337 dSqrt 48  M_Ratio  144
Automorfismo, escrito a la derecha de la matriz de Gram:  
-102158881  -1140891584
-111306496  -1243050465
=========================================
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle 9 -49 9

  0  forma              9         -49           9  delta     -1
  1  forma              9          31         -31

           0          -1
           1          -1

Para Devolver  
          -1           1
          -1           0

0  forma   9 31 -31   delta  -1
1  forma   -31 31 9   delta  4     ambiguo  
2  forma   9 41 -11   delta  -3
3  forma   -11 25 33   delta  1
4  forma   33 41 -3   delta  -14
5  forma   -3 43 19   delta  2
6  forma   19 33 -13   delta  -3
7  forma   -13 45 1   delta  45
8  forma   1 45 -13   delta  -3     ambiguo  
9  forma   -13 33 19   delta  2
10  forma   19 43 -3   delta  -14
11  forma   -3 41 33   delta  1
12  forma   33 25 -11   delta  -3
13  forma   -11 41 9   delta  4
14  forma   9 31 -31

  forma   9 x^2  + 31 x y  -31 y^2 

mínimo fue   1rep   x = 1808   y = 2233 disc 2077 dSqrt 45  M_Ratio  25
Automorfismo, escrito a la derecha de la matriz de Gram:  
-35019151  -148975584
-43250976  -183994735
=========================================
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ 
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$

\=================================================

 jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefPrincipal

3  /  1, 2, 
4  /  1, 
5  /  1, 2, 3, 
6  /  1, 
7  /  1, 2, 3, 4, 
8  /  1, 
9  /  1, 4, 5, 
10  /  1, 
11  /  1, 2, 3, 4, 6, 
12  /  1, 7, 
13  /  1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 
14  /  1, 9, 
15  /  1, 2, 4, 
16  /  1, 
17  /  1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 
18  /  1, 
19  /  1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 
20  /  1, 7, 
21  /  1, 4, 5, 11, 13, 
22  /  1, 15, 
23  /  1, 2, 3, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 16, 
24  /  1, 7, 
25  /  1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 
26  /  1, 17, 
27  /  1, 2, 7, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 
28  /  1, 9, 
29  /  1, 3, 4, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 
30  /  1, 7, 
31  /  1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 15, 16, 20, 21, 
32  /  1, 7, 15, 17, 
33  /  1, 2, 4, 7, 8, 10, 13, 16, 17, 19, 23, 
34  /  1, 7, 9, 23, 
35  /  1, 2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 16, 18, 22, 23, 24, 
36  /  1, 17, 
37  /  1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 26, 
38  /  1, 7, 9, 15, 23, 25, 
39  /  1, 2, 5, 7, 8, 16, 20, 22, 23, 25, 
40  /  1, 7, 17, 
41  /  1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 
42  /  1, 
43  /  1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 
44  /  1, 17, 23, 25, 31, 
45  /  1, 2, 4, 11, 14, 16, 17, 19, 23, 26, 28, 29, 31, 
46  /  1, 7, 17, 25, 
47  /  1, 2, 6, 9, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 
48  /  1, 
49  /  1, 2, 4, 8, 9, 11, 15, 16, 19, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 34, 
50  /  1, 17, 33, 

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus

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