Evaluación \sum\limits_{n=1}^{\infty $} \frac{1}{n\operatorname {GPF}(n)} $, donde $\operatorname {GPF}(n)$ es el mayor factor principal

Question

$\operatorname {GPD} (n) = $Greatest factor principal de $n$, por ejemplo. $\operatorname {GPD} (17) = 17$, $\operatorname {GPD} (18) = 3$.

Cómo evaluar la convergencia/divergencia/valor de la suma

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\operatorname {GPF}(n)} \,? $$

Answer 1

Si $\{r_1,\dots,r_k,p\}$ es el conjunto de números primos $\le p$, entonces

$$\{n\in \mathbb{Z}: \operatorname{gpf}(n)=p\}=\{r_1^{e_1}\cdots r_k^{e_k}p^f:\text{cada uno de los }e_i\ge 0,f\ge1\}.$$

Ahora tenemos el producto de Euler de la factorización de

$$\sum_{e_1\,\ge0}\cdots\sum_{e_k\,\ge0}\sum_{f\ge1}\frac{1}{r_1^{e_1}\cdots r_k^{e_k} p^f}= \prod_{i=1}^k \left(1+\frac{1}{r_i}+\frac{1}{r_i^2}+\cdots\right)\cdot \left(\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+\cdots\right) $$

$$\implica \bala =\sum_p \frac{1}{p}\sum_{\operatorname{gpf}(n)=p}\frac{1}{n}=\sum_p \frac{1}{p}\left[\,\prod_{q\,< \,p}\left(1-\frac{1}{q}\right)^{-1}\right]\frac{1/p}{1-1/p}$$

$$=\sum_p \frac{1}{p(p-1)}\prod_{q<p}\left(1-\frac{1}{q}\right)^{-1}.$$

Con Mertens Teorema, sabemos que el $\prod$ sobre $\le C\log p$ eventualmente, así que después de ignorar una finito suma correspondiente a la $p$ antes de esta "eventualmente", podemos decir que

$$\frac{\bullet}{C} + \zeta_P'(2)\le \sum_p \frac{\log p}{p}\left(\frac{1}{p-1}-\frac{1}{p}\right)\le \sum_p\frac{\log p}{p^2}=-\zeta_P'(2).$$

Aquí $\zeta_P$ es el primer zeta función. Con la monotonía de los términos, esto demuestra la convergencia.

Answer 2

Llame a la suma de $S$, y se supone que $\text{GPF}(1)$ se define a ser de $1$. Para $n\geq1$ y $p,q$ prime, $\text{GPF}(n)=p$ iff $p|n$ y $n$ es un producto de números primos $q\leq p$, así que, por el producto de Euler de la factorización de (como se nota por @anon), la suma de los recíprocos de dichos $n$ es $$ T_p= \sum_{\text{GPF}(n)=p} \frac{1}{n}= \frac{1}{p}\; \prod_{q \leq p}\; \sum_{i=0}^\infty q^{-i} = \frac{1}{p}\; \prod_{q \leq p} \left( 1-\frac{1}{q} \right)^{-1}. $$ También (como @anon se indique lo contrario) por Mertens' tercer teorema, $p\;T_p\rightarrow e^\gamma\log p$, de modo que $T_p\rightarrow e^\gamma\frac{\log p}{p} \rightarrow 0$ como $p\rightarrow\infty$, con $T_p-e^\gamma\frac{\log p}{p}$ en el hecho de el cambio de signo infinitamente a menudo (Robin 1983) y $$ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\text{GPF}(n)} = 1 + \sum_{p} \frac{1}{p} T_p $$ debe converger: $\sum\frac{T_p}{p}\sim \sum\frac{\log p}{p^2} <\sum\frac{\log n}{n^2}$ todos convergen por el límite de comparación e integral de las pruebas desde $\int_1^\infty\frac{log x}{x^2}dx= -\left|\frac{1+\log x}{x}\right|_1^\infty= 1$. Tenga en cuenta que $$ R_p= \sum_{\text{GPF}(n)\leq p}\frac{1}{n\text{GPF}(n)}= 1+ \sum_{q\leq p}\; \sum_{\text{GPF}(n)=q} \frac{1}{cn}= 1+ \sum_{q\leq p} \frac{1}{q} T_q $$ monótonamente aumenta a $S$ p $\rightarrow\infty$, y que por $p,q$ y $r$ prime, $$ \sum_{\text{GPF}(n)>p}\frac{1}{n\text{GPF}(n)}= S-R_p= \sum_{q>p} \frac{1}{q} T_q= \sum_{q>p} \frac{1}{p^2} \prod_{i\leq q} \left( 1-\frac{1}{r} \right)^{-1}. $$ Además, tenga en cuenta que al multiplicar por $(1-\frac{1}{p})$ en la parte superior derecha tiene el efecto de quitar el $r=p$ plazo del producto, eliminando así todos los términos con $p\mid$ n de la suma de la izquierda. Así $$ S-R_p+\frac{1}{p}T_p= \sum_{\text{GPF}(n)\geq p}\frac{1}{n\text{GPF}(n)}= S_p+\sum_{ \begin{matriz} \text{GPF}(n)>p \\p\nmid n \end{matriz} } \frac{1}{n\text{GPF}(n)} $$ $$ =S_p+ \left(1-\frac{1}{p}\right) \sum_{q>p}\frac{1}{q}T_q =S_p+ \left(1-\frac{1}{p}\right) \a la izquierda(S-R_p\right) $$ $$ \implica\quad 0 < S - R_p = p S_p - T_p \rightarrow 0 \quad\text{como}\quad p\rightarrow\infty $$ donde $S_p$ es la suma de los términos de $S$ de los cuales $n$ es divisible por el primer $p$: $$ S_p= \sum_{p|n}\frac{1}{n\text{GPF}(n)}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{pn\text{GPF}(pn)}. %De ERROR: %= %\frac{1}{p^2}- %\frac{1}{p}+ %\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{pn\text{GPF}(n)} %= %\frac{S}{p}-\frac{p-1}{p^2}. $$

Para comprobar esto, queremos el primer par de valores de $T_p$: $T_2=T_3=1$, $T_5=\frac{3}{4}$, $T_7=\frac{5}{8}$, $T_{11}=\frac{7}{16}$, $T_{13}=\frac{77}{192}$ & $T_{17}=\frac{1001}{3072}$, junto con la siguiente recursión, lo que sigue a partir de la fórmula anterior por $T_p$: si $p_k$ es el $k^{\text{th}}$ primo, entonces $$ \frac{T_{p_{k+1}}}{T_{p_k}} = \frac{p_k}{p_{k+1}-1}. $$ Trabajo en sage (en línea), podríamos calcular y trazar una áspera límite inferior de $S$ de la siguiente manera:

P = Primes()
p = P.first()
T = 1; R = 3/2 # R = R_2 = 1 + T_2/2
x = []; y = []
for k in range(1,10000):
    q = p
    p = P.next(p)
    T = T * q/(p-1)
    R = R + (T/p).n(digits=16)
    x.append(log(p).n(digits=6))
    y.append(R)
print 'p = %3d T =' % p, T.n(digits=12), 'R =', R.n(digits=12)
print 'T ~', (e^euler_gamma*log(p)/p).n(digits=12)
list_plot(zip(x,y))

p = 104729 T = 0.000196636242440 R = 2.25441837672
T ~ 0.000196580221393

donde se trazan las sumas parciales $R_p$ frente $\log p$ para $p\in\{p_2=3,\dots,p_{10000}=104729\}$. La última calculada plazo (con $p=104729$) ha contribuido acerca de $T_p/p \aprox 0.000196636/104729 \aprox 2\times 10^{-9}$ $R_p \aprox 2.2544184$, por lo que la convergencia parece adecuado para ofrecer la estimación como una bastante buena límite inferior. También comparamos la calculada (exacta) valor de $T_p=0.00019663624$ con la estimación asintótica, $e^\gamma\frac{\log p}{p}=0.000196580221393$.

Observe que la parcela de arriba aparece repetidamente cruz su "mejor ajuste" continua aproximación. Esta observación se corresponde con la de 1983 resultado de Tipo Robin, y puede ser más precisa, produciendo en el proceso de otro, presumiblemente curso de analítica estimación de los $S$ por medio de la asintótica Merten aproximación $T_p \aprox e^\gamma\frac{\log p}{p}$, cuya suma correspondiente también puede ser expresada analíticamente en términos de la primer función zeta: $$ S=1+\sum_p\frac{1}{p}\prod_{q\leq p}\left(1-\frac{1}{q}\right)^{-1} =1+\sum_p\frac{T_p}{p} \quad\implica $$ $$ S \aprox 1-e^\gamma\zeta_{P}'(2) = 1+e^\gamma\sum_p\frac{\log p}{p^2} = 1+e^\gamma\sum_{k=1}^\infty\frac{\log p_k}{p_k^2}, \quad\text{donde} $$ $$ \zeta_P(s) = \sum_p p^{-s} \implica \zeta_{P}'(s) = -\sum_{p}\frac{log p}{p^s} \quad\text{ya}\quad \frac{d}{ds}e^{-s\log p} = e^{-s\log p}(-\log p). $$ Llamado de salvia, mpmathcalcula $\zeta_{P}'(2)=-0.93754825431584377$, dando lugar a la "Merten" estimación $S\aprox 1-e^\gamma\zeta_{P}'(2)=2.669841336296809$:

import mpmath; mpmath.zeta(2,1,1)
S_Merten = 1 + e^euler_gamma * 0.93754825431584377
S_Merten.n(digits=16) # -> 2.669841336296809

Esto a su vez puede ser analíticamente aproximada mediante la transformación de las variables discretas $k$ y $p=p_k$ para las variables continuas $t=\pi(x)$ y $x$, respectivamente, donde $\pi(x)$ es la primer función de recuento. El uso de la logarítmica integral aproximación para $\pi(x)$, el teorema fundamental del cálculo(FTOC) y la integración por sustitución, tenemos: $$ t=\pi(x) \approx \text{li}(x)=\int_0^x\frac{dt}{\log t} \quad\implica\quad dt\approx\frac{dx}{\log x} \qquad\text{(FTOC)} $$ $$ \frac{\log p_k}{p_k^2} \approx \int_{t=k-.5}^{t=k+.5} \frac{\log x}{x^2}dt \quad \implica \quad S \aprox 1 + e^\gamma \int_{\text{li}^{-1}(.5)}^\infty \frac{\log x}{x^2} \frac{dx}{\log x} = 1 + \frac{e^\gamma}{{\text{li}^{-1}(.5)}} $$

x=var('x'); c=find_root(Ei(log(x))==.5, 1, 10)
S=1+e^euler_gamma/c; [c, S.n(digits=12)]

Sage informes de $\text{li}^{-1}(.5)\aprox 1.6719305730098757$ y $S\aprox 1+0.598111 e^\gamma$ $=2.06527893367$, que es sorprendentemente preciso, dada la inexactitud inherente en la aproximación $\pi(x)=\text{li}(x)$, $$ \frac{\text{li}(x)-\pi(x)}{\pi(x)} \aprox \log x \cdot \exp\left(-\frac{\sqrt{\log x}}{15}\right), $$ y dada la negativa inicial de sesgo en la Merten aproximación por $T_p$. Sin embargo, $T_p-e^\gamma\frac\log{p}{p}$ cambia de signo infinitamente a menudo (Robin 1983), como $\pi(x)-\text{li}(x)$ (Littlewood, 1914), que presenta un retraso bastante antes de que el primer cambio de signo.

$S-1$, también parece ser más bien cerca de la cantidad de $1.25506$ ofrecidos (aparentemente sin cita aquí) como un límite en el supremum de $\frac{\pi(x)\log(x)}{x}$ para $x>1$.

Robin, G. (1983). "Sur l'ordre máximo de la función de la somme des diviseurs". Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981-1982). El progreso en Matemáticas 38: 233-244.

Littlewood, J. E. (1914), "Sur la distribución de la des nombres estrenos", Comptes Rendus 158: 1869-1872

Answer 3

He intentado poner un numérica el límite inferior de la suma. Vamos $S=\sum_{j=1}^\infty 1/jGPF(j)$, donde asumo $GPF(1)=1$. Deje de $r_i$ ser $i$th prime. A continuación, utilizando la serie geométrica, tenemos

$S=1+\displaystyle\sum_{\{e_i\}} r_n^{-2}\left[\frac{1}{1-r_n^{-1}}\right]\prod r_i^{-e_i}$

donde la suma es sobre los conjuntos de los exponentes $\{e_i\}$ tal que la máxima de $i$ ocurre $k$, donde $0 \le k < n$. La idea aquí es que la mayoría de los grandes aportes a la $S$ provienen de términos con bastante pequeño $k$. Vamos $m=\sum e_i$. Entonces

$S \ge 1+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty r_n^{-2}\left[\frac{1}{1-r_n^{-1}}\right] \left[1+\sum_{m=1}^\infty \sum_{k=1}^{n-1} r_k^{m} \sum_{\{e_i\}} 1\right]$ ,

donde el 1 plazo antes de que la suma de más de $m$ es a cuenta de los $m=0$, $k=0$ plazo. Ahora vamos a por $B(m,k)$ ser el número de particiones de $m$ en $k$ no negativo de términos, con el fin de contado como significativa, y con el término final de ser distinto de cero. Entonces $B(m,k)={{m+k-1} \elegir k}\ge (1+(m-1)/k)^k$, por lo que

$S \ge 1+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty r_n^{-2}\left[\frac{1}{1-r_n^{-1}}\right] \left[1+\sum_{m=1}^\infty \sum_{k=1}^{n-1} r_k^{m}\left(1+\frac{m-1}{k}\right)^k\right]$

El siguiente código, escrito en el open-source lenguaje de programación Yacas, es el objetivo de evaluar esta expresión:

n_max := 100;
m_max := 100;
prec := 8; /* digits of precision */
n := 1;
rn := 1;
s := N(1,prec); /* take GPF(1)=1, so first term=1 */
While (n<=n_max) [
  u := N(1,prec); /* 1=contribution from m=0, k=0 */
  rn := NextPrime(rn); /* rn=nth prime */
  m := 1;
  While (m<=m_max) [
    k := 1;
    rk := 1;
    While (k<n) [
      rk := NextPrime(rk); /* rk=kth prime */
      u := N(u+(1+(m-1)/k)^k*rk^-m,prec);
      k := k+1;
    ];
    m := m+1;
  ];
  sn := N(u*rn^-2*(1/(1-1/rn)),prec);
  s := N(s+sn,prec);
  Write(n,sn,s); NewLine();
  n := n+1;
];
Write(s); NewLine();

Resumiendo al máximo $n$ y $m$ valores de 100 da $S\ge 1.39$, que está de acuerdo con, pero más pobre que, las estimaciones por J. M. y bgins.

Yo he cogido y corregido varios errores en el este después de que inicialmente publicado. Tal vez hay más...

Answer 4

Deje de $p_k$ los $k$-ésimo número primo. $$ \sum_{n\ge1}\frac{1}{n\operatorname{GPF}(n)}=\sum_{k\ge1}\frac{1}{p_k}\sum_{\operatorname{GPF}(n)=p_k}\frac{1}{n}. $$ Si $\operatorname{GPF}(n)=p_k$, entonces $n=p_1^{i_1}\dots p_{k-1}^{i_{k-1}}\,p_k^{i_k}$ con $i_j\ge0$, $1\le j<k$ y $i_k\ge1$. Se sigue que $$ \begin{align*} \sum_{\operatorname{GPF}(n)=p_k}\frac{1}{n}&=\Bigl(\sum_{i_1\ge0}p_1^{-i_1}\Bigr)\dots\Bigl(\sum_{i_{k-1}\ge0}p_{k-1}^{-i_{k-1}}\Bigr)\Bigl(\sum_{i_k\ge1}p_k^{-i_k}\Bigr)\\ &=\frac{1}{p_k}\,\prod_{i=1}^k\Bigl(1-\frac{1}{p_i}\Bigr)^{-1}. \end{align*} $$ A partir del teorema de Merten $$ \prod_{i=1}^k\Bigl(1-\frac{1}{p_i}\Bigr)^{-1}\sim e^\gamma\,\log p_k\ , $$ y la serie original tiene la misma carácter de $$ \sum_{k\ge1}\frac{\log p_k}{p_k^2} , $$ que es convergente.