Estoy aprendiendo teoría de la representación de Serre el libro por mí mismo. Actualmente estoy leyendo sobre inducida por las representaciones, pero no entiendo la importancia. El concepto parece extraño y la definición parece bastante complicado en comparación con los temas discutidos antes. Alguien puede brevemente exposit su importancia?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Usted puede pensar en ello de esta manera, tal vez ayuda un poco. Si tienes una representación de un grupo más grande$~G$, siempre se puede restringir a un subgrupo$~H$ para obtener una representación de la última. En particular, puede restringir todas irreducibeles para$~G$$~H$, y ver lo que hacen allí, algunos pueden permanecer irreductible, algunos pueden descomponerse después de la restricción. Pero si ya sabes cosas sobre el subgrupo$~H$ (por ejemplo, usted puede tener clasifica a sus irreducibles), y que para averiguar cosas acerca de$~G$, todo esto no ayuda mucho. Usted necesita una manera de ir en la otra dirección, tome una representación de$~H$ y construir uno de$~G$ fuera de ella. Desde $G$ es más complicado de lo que$~H$, es demasiado ingenuo suponer que siempre se puede extender un determinado $H$-representación a un $G$-la representación de la definición de la acción de los nuevos elementos (en otras palabras la vista de su representación de edad, como la restricción de una nueva definición de uno); es posible que necesite aumentar la dimensión con el fin de extender la acción. La inducción hace precisamente esto de una manera que sólo se utiliza la representación de edad y la estructura del grupo de $H$ dentro $G$ ingredientes; no se requieren opciones. No es la operación inversa de la restricción, sino que son "adjuntos" en un sentido hizo precisa la Frobenius reciprocidad (por ejemplo, el irreducibles $\rho$ $G$ que se muestran en la descomposición y la inducida por la irreductible $H$-representación $\sigma$ son precisamente aquellos para los que $\sigma$ se muestra en la descomposición de la restricción a$~H$$~\rho$; de hecho, las multiplicidades de aparición será idéntico).
Para ver el uso de la inducción de representaciones, puede que desee estudiar fácil de ejemplos, tales como el (complejo) las representaciones de la diedro grupo, mediante el fácil describir la estructura de las representaciones de su subgrupo de rotaciones (como el subgrupo es conmutativa, sus representaciones irreducibles son todos de la dimensión$~1$). En general, la inducción de relativamente "fácil" (pero no demasiado pequeño) subgrupos es a menudo una herramienta importante en el estudio de las representaciones de un grupo dado.
Una analogía es el cambio de base de los campos de espacios vectoriales. Cada complejo espacio vectorial puede ser visto como un verdadero espacio vectorial por la restricción (olvídese de la multiplicación por$~\mathbf i$), pero no todo espacio vectorial puede ser obtenido de (la dimensión tiene que ser aún). Sin embargo, cada espacio vectorial real puede ser complexified a un complejo espacio vectorial, por lo que su complejo de dimensión igual a la original, dimensión real (y la dimensión real se ha duplicado). Esto es lo que implícitamente que pasa detrás de las escenas cuando dicen que para interpretar una verdadera matriz cuadrada como un complejo con el propósito de encontrar los autovalores (los correspondientes subespacios propios no tienen un significado directo para el original espacio real, ya que ellos viven en su complejización). En esta analogía, la inducción de la representación corresponde a la complejización.
user56747
Puntos
1
Si desea calcular la tabla de caracteres de un grupo de una de las formas de búsqueda de nuevos irreducibles es que se acaba de venir para arriba con algunas al azar de la representación y, a continuación, utilizar la ortogonalidad de las relaciones de quitar la irreductible sumandos que ustedes ya son conscientes de. Si lo que sobra es irreductible, entonces has encontrado una nueva. Por supuesto, no ser siempre el caso de que la representación que eligio había exactamente un irreductible sumando que era un desconocido para usted, por lo que es útil tener muchas maneras de crear representaciones de esa manera las probabilidades son más altas que las que va a pasar con algo que usted puede crear.
La inducción es uno de los estándar de go-to para la creación de nuevas representaciones.
Por supuesto, hay muchas otras razones, esto es sólo un ejemplo, pero el cálculo de las tablas de caracteres es bastante estándar cosa para enseñar en un primer curso sobre las representaciones así que esperemos que este ejemplo va a ser relevantes para usted.
