Acotado, no constante armónica de funciones: ¿qué tan lejos están de los actuales?

Question

Deje $f$ ser una función que se asigna a $\mathbb{Z}^2$ $\mathbb{R}$y considerar la posibilidad de que el operador $T$ el cual se sustituye el valor de $f$ $(i,j)$ por el promedio de los valores de $f$ en sus cuatro vecinos: $$ Tf(i,j) = \frac{f(i-1,j) + f(i+1,j) + f(i,j-1) + f(i,j+1)}{4}.$$ Now we know that the equation $$ Tf = f$$ does not have any solutions $f$ that are bounded. I'm looking for a stronger version of this fact. In particular, I want to know if there is a quantitative statement to the effect that if $$\inf_{(i,j) \in \mathbb{Z}^2} f(i,j) = 0 , ~~~~~~\sup_{(i,j) \in \mathbb{Z}^2} f(i,j) = 1, ~~~~~~~~~~~~~~~(*)$$ then $Tf$ is in some sense far from $f$?

Una ingenua manera de hacer este trabajo sería definir $$ d_{\infty}(f,g) = \sup_{(i,j) \in \mathbb{Z}^2} |f(i,j) - g(i,j)| $$ and consider $$ \inf_f d_{\infty}(f,Tf) $$ where the infimum is taken over all $f$ satisfying $(*)$. But it isn't hard to see that this infimum is $0$, por lo que este intento falla. Tal vez una más sofisticada de la noción de distancia sería hacer este tipo de afirmación verdadera?

Answer 1

No hay constante delimitada armónico de las funciones de $\mathbb{Z}^d$. Esto se conoce como la propiedad de Liouville (en general otros tipos de gráficos). Usted puede ver algunas de las pruebas aquí:

Una versión más fuerte de los discretos "del teorema de Liouville"

http://mathoverflow.net/questions/51949/liouville-property-in-zd

Answer 2

Si una $L^2$ tratamiento es factible que uno podría tratar de transformada de Fourier. En un nivel puramente formal de cualquier $f:\ {\mathbb Z}^2\to{\mathbb C}$ tiene una transformada de Fourier $\hat f:\ T^2\to {\mathbb C}$ que no es otra cosa sino la doble función periódica $$f(x,y):=\sum_{k,l} f(k,l)e^{i(k x+ly)}\qquad\bigl((x,y)\in ({\mathbb R}/(2\pi))^2\ \bigr)\ .$$ Uno fácilmente se comprueba que $$\widehat{Tf}(x,y)={1\over2}(\cos x+\cos y)\hat f(x,y)\ ,$$ de modo que en el "dominio de Fourier" el "operador de convolución" $T$ actos como la multiplicación con una función simple. Como $f$ fue asumido real de su transformada de Fourier tiene ciertas propiedades de simetría que podría simplificar las expresiones resultantes.

Answer 3

Es más conveniente considerar la posibilidad de $Tf - f$, que es sólo una versión a escala de la Laplaciano discreto $\nabla^2 f$. Este es un límite inferior para el unidimensional versión del problema. Lo siento si usted ya sabe acerca de esto, yo no podía decir a partir de la declaración de su pregunta.

En una dimensión, vamos a la primera y la segunda las diferencias finitas, se $\nabla f_{i+1/2}=f_{i+1}-f_i$$\nabla^2 f_i=\nabla f_{i+1/2}-\nabla f_{i-1/2}=f_{i-1}-2f_i+f_{i+1}$, y el máximo correspondiente normas $F=\lVert f\rVert_\infty$, $G=\lVert\nabla f\rVert_\infty$, y $H=\lVert\nabla^2f\rVert_\infty$. La diferencia que te interesan, $Tf-f$, es sólo $2\nabla^2f$ en este caso unidimensional. Entonces uno puede mostrar que $$f_{i+n} \ge f_i + n\nabla f_{i+1/2} - \frac{n^2}2H.$$ Esto es simplemente una expresión del hecho de que si su aceleración es acotado, se va a seguir, al menos de una cierta distancia, incluso cuando apretando los frenos. Tomemos $i$ en el punto donde se $\nabla f_{i+1/2}$ alcanza su máximo valor absoluto $G$. Dada la naturaleza discreta del dominio, la máxima de la mano derecha que se realiza en la $\frac12$ unidad de $n=G/H$, donde llegamos $$f_{i+n}\ge f_i+\frac{G^2}{2H}-\frac H8\ge f_i+\frac{G^2}{2H}.$$ Por supuesto, $f_{i+n}-f_i\le2F$, lo que implica inmediatamente que $H\ge G^2/4F,$ o volviendo a la notación convencional, $$\lVert\nabla^2f\rVert_\infty \ge \frac{\lVert\nabla f\rVert_\infty^2}{4\lVert f\rVert_\infty}.$$

Intuitivamente, se podría haber esperado para que a partir de "dimensiones de la corrección" consideraciones: si desea relacionar $f$$f''$, necesitará $(f')^2$ en algún lugar de hacer que las unidades de partido. Es básicamente lo mismo que a $v^2-u^2=2as$ en la mecánica clásica, de todos modos. El mismo argumento debería funcionar sin cambios en el dominio continuo, pero no sé si se va a generalizar en múltiples dimensiones.