¿Cuál es la generación de función para calcular el número de funciones de $f:\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\to\{1,2,3,4,5,6,7\}$$|Im(f)|=4$?

Question

¿Cuál es la generación de función para calcular el número de funciones $f:\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\to\{1,2,3,4,5,6,7\}$ $|Im(f)|=4$?

Yo he probado estos:

• $$\sum_{k=1}^{10}x^k \cdot \sum_{k=1}^{7}x^k$$

• $$\sum_{k=1}^{10}x^k \cdot \sum_{k=1}^{7}y^k$$

• $$\sum_{k=1}^{10}ax^k \cdot \sum_{k=1}^{7}bx^k$$

• $$\sum_{k=1}^{10}a_k x^k \cdot \sum_{k=1}^{7}b_k x^k$$

Pero al pensar en ellos, sus coeficientes y exponentes no parecía demasiado revelador. Tal vez he hecho algún tipo de error y uno de estos realmente resolver el problema, pero no puedo ver. Sé que hay una manera de hacerlo a través de la inclusión-exclusión, pero estoy profundamente interesado en la generación de la función de la misma.

Answer 1

El número de tales funciones es $${10 \brace 4}\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4$$ donde ${10 \brace 4}$ un número de Stirling del segundo tipo, a contar de cuántas maneras es posible crear una partición de un $10$ elementos en cuatro subconjuntos no vacíos. Inclusión-exclusión principio da: $${n \brace k}=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom{k}{i}(k-i)^n $$ y el FEAG para los números de Stirling del segundo tipo es: $$\sum_{n=k}^{+\infty}{n \brace k}\frac{x^n}{n!}=\frac{1}{k!}(e^x-1)^k$$ mientras que la OGF es: $$\sum_{n=1}^{+\infty}{n \brace k}x^n = \frac{x^k}{(1-x)(1-2x)\cdot\ldots\cdot(1-kx)}.$$