El $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ generado por un conjunto $\mathcal{A}$ es el álgebra sigma más pequeña que incluye $\mathcal{A}$

Question

Me cuesta entender por qué el $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ generado por $\mathcal{A}$ debe ser el más pequeño $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ incluyendo $\mathcal{A}$ .

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Permítanme que intente dilucidar mi comprensión del tema, con la esperanza de que alguien paciente y amable pueda rellenar las lagunas.

Si $X$ es un conjunto, y $\mathcal{G}$ es cualquier familia no vacía de $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ entonces estoy muy contento de que

$$ \bigcap \mathcal{G} := \left\{ E : E \in \Sigma, \forall \Sigma \in \mathcal{G} \right\},$$

la intersección de todas las $\sigma$ álgebras que pertenecen a $\mathcal{G}$ es un $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ .

Ahora bien, si $\mathcal{A}$ es un subconjunto cualquiera de $X$ , entonces definiendo

$$ \mathcal{G} := \left\{ \Sigma : \Sigma \ \textrm{is a } \sigma \textrm{-algebra of subsets of } X, \mathcal{A} \subseteq \Sigma \right\},$$

entonces tenemos por definición que $\mathcal{G}$ es una familia de $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ También, ya que $\mathcal{P} X \in \mathcal{G}$ tenemos que es no vacía. Así que $\Sigma_{\mathcal{A}} := \bigcap \mathcal{G}$ , llamado el $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ generado por $\mathcal{A}$ es un $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ . Porque $\mathcal{A} \subseteq \Sigma$ por cada $\Sigma \in \mathcal{G}$ tenemos $\mathcal{A} \subseteq \Sigma_{\mathcal{A}}$ por lo tanto $\Sigma_{\mathcal{A}}$ pertenece a $\mathcal{G}$ .

Sin embargo, no puedo entender por qué debería ser así $\Sigma_{\mathcal{A}}$ debe ser el más pequeño $\sigma$ -de subconjuntos de $X$ incluyendo $\mathcal{A}$ Quizás porque no estoy del todo seguro de lo que significa explícitamente esta afirmación (es decir, tengo problemas para interpretar "más pequeño" e "incluido"). Me aliviaría mucho si alguien pudiera intentar explicarme esto, ya que me ha estado molestando desde hace una semana; tengo la sensación de que podría depender en gran medida del $\bigcap$ pero no estoy seguro de cómo...

Answer 1

Permíteme hacer un comentario general más que específico, porque la construcción con la que estás teniendo problemas es una muy común y muy útil (aunque tiene sus limitaciones; ver más abajo) por lo que es importante y bueno tenerla "abajo" correctamente.

La situación es la siguiente: está considerando un determinado tipo de objeto de interés. Para simplificar, vamos a ver el ejemplo más antiguo con el que se encuentran la mayoría de los estudiantes, que son los espacios vectoriales. Así pues, estamos estudiando los espacios vectoriales. Específicamente, estás viendo un espacio vectorial particular $\mathbf{V}$ .

Los objetos tienen sub -objetos (subespacios). Se trata de subconjuntos de su $\mathbf{V}$ que también son objetos (espacios vectoriales) por derecho propio. No todo subconjunto es un subobjeto, pero todo subobjeto es un subconjunto.

En esta situación, suele ser fructífero considerar el siguiente problema:

Dada una subconjunto $S$ de $\mathbf{V}$ ¿Qué es el El más pequeño subespacio de $\mathbf{V}$ que contiene $S$ ?

Es decir, queremos encontrar un $\mathbf{W}$ con las siguientes propiedades:

1. $\mathbf{W}$ es un subespacio de $\mathbf{V}$ ;
2. $S$ está contenida en $\mathbf{W}$ ("...que contiene $S$ ");
3. Si $\mathbf{Z}$ es cualquier subespacio de $\mathbf{V}$ que contiene $S$ entonces $\mathbf{W}\subseteq\mathbf{Z}$ ("... El más pequeño ...")

Esta es la situación que tienes entre manos, y también es una situación muy común que nos encontramos una y otra vez. Algunos ejemplos:

• Dado un grupo $G$ y un subconjunto $S$ para encontrar el subgrupo más pequeño de $G$ que contiene $S$ (el "subgrupo generado por $S$ ");
• Dado un grupo $G$ y un subconjunto $S$ para encontrar el más pequeño normal subgrupo de $G$ que contiene $S$ ;
• Dado un subconjunto $S$ del plano $\mathbb{R}^2$ para encontrar el más pequeño conjunto convexo que contiene $S$ (el "casco convexo de $S$ ");
• Dado un conjunto $X$ y una colección de subconjuntos $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{P}(X)$ , encontrar el más pequeño $\sigma$ -álgebra en $X$ que contiene $\mathcal{S}$ (el caso que tienes);
• Dado un conjunto $X$ y una relación $R$ en $X$ encontrar la relación transitiva más pequeña en $X$ que se extiende $R$ (el "cierre transitivo");
• Dado un espacio topológico $X$ y un subconjunto $S$ , encuentre el subconjunto cerrado más pequeño de $X$ que contiene $S$ (el "cierre de $S$ ").

y así sucesivamente.

Ahora, en general, tal cosa puede no existir; o puede haber mínimo pero ningún objeto mínimo. Por ejemplo, si en el último ejemplo anterior se sustituye "cerrado" por "abierto", puede que no exista tal objeto: si $X=\mathbb{R}$ y $S=[0,1]$ no existe un "conjunto abierto más pequeño que contenga $S$ ".

Pero en muchas situaciones, hay una sola observación que permite concluir que tal como "subobjeto más pequeño" debe existe. Es decir, si se puede demostrar que la intersección de cualquier colección de "subobjetos" es de nuevo un "subobjeto". Para el ejemplo de los espacios vectoriales: ¿es la intersección de una familia arbitraria de subespacios de $\mathbf{V}$ es a su vez un subespacio de $\mathbf{V}$ ? Para los ejemplos anteriores:

• Es la intersección de una familia arbitraria de subgrupos de $G$ , a su vez un subgrupo de $G$ ?
• Es la intersección de una familia arbitraria de subgrupos normales de $G$ es un subgrupo normal de $G$ ?
• Es la intersección de una familia arbitraria de subconjuntos convexos de $\mathbb{R}^2$ es un subconjunto convexo de $\mathbb{R}^2$ ?
• Es la intersección de una familia arbitraria de $\sigma$ -en las álgebras $X$ sí mismo un $\sigma$ -álgebra en $X$ ?
• Es la intersección de una familia arbitraria de relaciones transitivas sobre $X$ es una relación transitiva sobre $X$ ?
• Es la intersección de una familia arbitraria de subconjuntos cerrados de $X$ es un subconjunto cerrado de $X$ ?

Cuando la respuesta es "sí", entonces la siguiente construcción mostrará siempre que hay es tal cosa como el "subobjeto más pequeño que contiene $S$ ":

Tome la familia de todo subobjetos que contienen $S$ ; luego toma la intersección de la familia. Ese es el subobjeto más pequeño que contiene $S$ .

¿Por qué funciona esto?

Porque sí:

(i) Hay al menos un subobjeto que contiene $S$ (es decir, el propio objeto original; para $\sigma$ -algebras, esto sería $\mathcal{P}(X)$ para el ejemplo del cierre transitivo, se tomaría la "relación total" $X\times X$ ).

(ii) Como la intersección de una familia arbitraria de subobjetos es un subobjeto (esta es nuestra suposición), entonces esta intersección es un subobjeto.

(iii) Dado que cada cosa que se interseca contiene $S$ la intersección contiene $S$ .

Esto significa que la intersección es efectivamente un subobjeto que contiene $S$ . Finalmente:

(iv) La intersección siempre está contenida en todos y cada uno de los elementos de la familia intersectada. Por lo tanto, si $\mathbf{Z}$ es cualquier subobjeto que contenga $S$ entonces es un miembro de la familia que se interseca, por lo que la intersección está contenida en $\mathbf{Z}$ . Esto demuestra que la intersección es efectivamente el "subobjeto más pequeño" con las propiedades deseadas.

Así que:

• Para encontrar el subespacio más pequeño de $\mathbf{V}$ que contiene $S$ , se cruzan todo subespacios que contienen $S$ .
• Para encontrar el subgrupo más pequeño de $G$ que contiene $S$ , se cruzan todo subgrupos que contienen $S$ .
• Para encontrar el subgrupo normal más pequeño de $G$ que contiene $S$ , se cruzan todo subgrupos normales que contienen $S$ .
• Encontrar el conjunto convexo más pequeño que contenga $S$ , se cruzan todo subconjuntos convexos de $\mathbb{R}^2$ que contienen $S$ .
• Para encontrar el más pequeño $\sigma$ -que contiene $S$ , se cruzan todo $\sigma$ -que contienen $S$ .
• Encontrar la relación transitiva más pequeña que contenga $R$ , se cruzan todo relaciones transitivas que contienen $R$ .
• Para encontrar el subconjunto cerrado más pequeño que contiene $S$ , se cruzan todo subconjuntos cerrados que contienen $S$ .

Y esto funciona como magia. ¡Voilá! Has demostrado que este objeto existe. Es necesariamente tiene las propiedades que desea.

Se trata de un enfoque "descendente". Imagínese que está mirando el "objeto grande" y que lo está "reduciendo" hasta obtener "lo justo" para el objeto que quiere (las intersecciones hacen que las cosas sean más pequeñas; está reduciendo cosas que pueden no ser necesarias).

¿El problema? Como la mayoría de los hechizos mágicos, no te dice mucho sobre el producto final. El hecho de que el producto final haya aparecido "como por arte de magia" significa que es probable que no tengas ni idea de la naturaleza real del "objeto más pequeño" en cuestión como cuando empezaste. Ahora sabe que hay es tal cosa, pero no sabes realmente lo que "parece".

Por eso, en casi todas las situaciones como ésta, usted también quiere una descripción "ascendente" de este "subobjeto más pequeño que contiene $S$ ". Quiere una descripción explícita de lo que en realidad parece . Para los ejemplos anteriores:

• El subespacio más pequeño de $\mathbf{V}$ que contiene $S$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores en $S$ .
• El subgrupo más pequeño de $G$ que contiene $S$ es el conjunto de todos los productos finitos de elementos de $S$ y sus inversos.
• El subgrupo normal más pequeño de $G$ que contiene $S$ es el conjunto de todos los productos finitos de conjugados de elementos de $S$ y sus inversos.
• El subconjunto convexo más pequeño de $\mathbb{R}^2$ que contiene $S$ es el conjunto de todos los combinaciones convexas de elementos de $S$ .
• Asaf da una descripción explícita del más pequeño $\sigma$ -álgebra en $X$ que contiene $S$ en su respuesta, descrita a partir de $S$ .
• La menor relación transitiva sobre un conjunto $X$ que contiene una relación determinada $R$ es el conjunto de todos los pares $(a,b)$ tal que existe una secuencia finita $x_0,x_1,\ldots,x_n$ de elementos de $X$ tal que $x_0=a$ , $x_n=b$ y $(x_i,x_{i+1})\in R$ para $i=0,\ldots,n-1$ .
• El subconjunto cerrado más pequeño de un espacio topológico $X$ que contiene un conjunto determinado $S$ es igual a $S\cup\partial S$ o a $S\cup S'$ .

En cada uno de estos casos, habría que demostrar que la descripción dada en realidad tiene las propiedades deseadas. Se trata de un enfoque "ascendente".

La descripción "de arriba abajo" tiene la ventaja de la simplicidad, de que las "propiedades universales" que definen el objeto se satisfacen muy claramente y de que facilitan la demostración de resultados sobre cómo el "objeto más pequeño" se relaciona con otros objetos. Sin embargo, la descripción "descendente" suele ser muy difícil de utilizar para demostrar cosas sobre el específico objeto más pequeño. La construcción "de abajo a arriba" tiene la ventaja de que (normalmente) es una forma muy concreta de poner las manos en el objeto mismo, lo que facilita la demostración de cosas sobre el objeto mismo, pero demostrar las propiedades universales suele ser difícil. Así, por ejemplo, la definición descendente de "subespacio $\mathbf{V}$ generado por $S$ "en el entorno del álgebra lineal hace que sea muy difícil averiguar cosas como la dimensión del subespacio, o una base, mientras que el enfoque "ascendente" lo hace muy fácil, pero entonces demostrar que la colección de todas las combinaciones lineales forma un subespacio es más difícil que simplemente tomar una intersección de subespacios.

En la mayoría de los libros o presentaciones, cuando se habla de "los más pequeños X que contiene S ", verá uno de los dos enfoques:

1. Definirlo como una gran intersección, y luego demostrar un teorema que da la descripción "ascendente"; o
2. Dar una descripción "ascendente"; luego demostrar que el objeto descrito tiene las propiedades deseadas de ser un subobjeto, que contiene S y ser el más "pequeño".

Siempre que sea posible, querrá ambas descripciones porque tienen puntos fuertes y débiles complementarios.

Answer 2

Como Qiaochu ha dado una buena respuesta, que creo que debería ser satisfactoria, describiré otra forma de construir el $\sigma$ -generada a partir de $\mathcal A$ . Como escribe Arturo en los comentarios, esto es similar a la diferencia entre definir un subgrupo generado por $X$ como la intersección de todos los subgrupos que contienen $X$ y el cierre $X$ bajo las operaciones necesarias.

Hay una forma alternativa (aunque algo más complicada si se quiere entrar en detalles) de construir $\Sigma_\mathcal A$ .

• $\Sigma^0_0=\Pi^0_0=\text{ finite intersections from }\mathcal{A}$
• Para $\alpha$ un contable ordinal denotan: $$ \Sigma^0_\alpha=\{\bigcup_{i\in\mathbb N} A_i\mid A_i\in\bigcup_{\beta<\alpha}\Pi^0_\beta\},\quad \Pi^0_\alpha = \{X\setminus A\mid A\in\Sigma^0_\alpha\},\quad \Delta^0_\alpha=\Sigma^0_\alpha\cap\Pi^0_\alpha $$

Es sencillo demostrar que $\Sigma^0_\alpha$ es cerrado bajo uniones contables e intersecciones finitas (para $\alpha>0$ ) y $\Pi^0_\alpha$ cerrado bajo intersecciones contables y uniones finitas; y $\Delta^0_\alpha$ es cerrado bajo complementos así como intersecciones finitas y uniones finitas.

Algo menos sencillo es demostrar que $\Sigma^0_\alpha\subseteq\Sigma^0_\beta$ para $\alpha<\beta$ (deduzca de este hecho que $\Sigma^0_\alpha$ y $\Pi^0_\alpha$ son subconjuntos de $\Delta^0_{\alpha+1}$ )

Ahora dejemos que $\Delta=\bigcup_{\alpha<\omega_1} \Delta^0_\alpha$ , donde $\omega_1$ es el primer ordinal incontable (es decir $\aleph_1$ ). Asumiendo el axioma de elección tenemos que las uniones contables de ordinales contables son contables, por tanto $\Delta$ es cerrado bajo uniones y complementos contables.

Supongamos que $A_i\in\Delta$ para $i\in\mathbb N$ entonces hay algo de $\alpha<\omega_1$ tal que $A_i\in\Sigma^0_\alpha$ Por lo tanto $\bigcup A_i\in\Sigma^0_\alpha$ ya que $\Sigma^0_\alpha\subseteq\Delta^0_{\alpha+1}$ tenemos que la unión contable está en $\Delta$ y de forma similar para las intersecciones contables.

Afirmo que $\Delta=\Sigma_\mathcal A$ mientras que es obvio que $\mathcal A\subseteq\Delta$ No es en absoluto obvio por qué esto es lo más pequeño $\sigma$ -Álgebra. Dejaré esta prueba fuera, ya que estoy seguro de que he escrito suficiente. (Buscaré una buena referencia para una prueba y la publicaré aquí).

En realidad lo que hicimos fue cerrar $\mathcal A$ bajo intersecciones y uniones contables, así como complementos. En lugar de construirlo de arriba a abajo, lo hemos hecho de abajo a arriba.

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Esta construcción se suele hacer sobre los conjuntos abiertos de un espacio topológico, resultando Conjuntos de Borel de $X$ y es una construcción importante en la teoría descriptiva de conjuntos.

El superíndice de $0$ en esta notación es para señalar que se trata de la jerarquía de Borel. Existe otra jerarquía, algo similar, llamada La jerarquía proyectiva denotado por $\Sigma^1_\alpha$ (así como $\Pi$ y $\Delta$ ), que en cierta medida amplía la jerarquía de Borel.

¿Cómo se expande? Los conjuntos de Borel son exactamente $\Delta^1_1$ Así que más o menos desde la primera etapa de la construcción.

Answer 3

"Más pequeño" significa que está contenido en cada $\sigma$ -que contiene $\mathcal{A}$ . En este caso tenemos la garantía de que tal cosa existe porque la intersección de (una familia arbitraria de) $\sigma$ -es una $\sigma$ -para que puedas definir el $\sigma$ -como la intersección de todas las $\sigma$ -que contienen $\mathcal{A}$ .

Una forma un poco más abstracta de decir esto, que puede ser valiosa, es que la colección de todos los $\sigma$ -que contienen $\mathcal{A}$ es un poset ordenado por inclusión, y se quiere el elemento mínimo de este poset (que existe porque se pueden tomar intersecciones).

Véase también mi respuesta a esta pregunta .