Dejemos que $\mathbf{T}$ sea el álgebra de Hecke casi ordinaria reducida de nivel $N$ de la teoría de Hida para $\operatorname{GL}_{2}$ en $\mathbb{Q}$ (o más generalmente sobre un campo totalmente real $F$ ). Entonces $\mathbf{T}$ está generado finitamente sobre un anillo regular $\Lambda$ de dimensión 3. Sea $\mathfrak{m}$ sea un ideal máximo no Eisentein de $\mathbf{T}$ .
Por medio de Parcheando pseudo-representaciones adjuntas a formas modulares algebraicas, Wiles (y Hida) han construido una $G_{\mathbb{Q}}$ -representación $(V,\rho)$ con coeficientes en $\mathbf{T}_{\mathfrak{m}}\otimes_{\Lambda}\operatorname{Frac}(\Lambda)$ . Esta representación admite un subespacio unidimensional $V^{+}$ y un cociente libre de 1 dimensión $V^{-}$ ambos estables bajo la acción de $G_{\mathbb{Q}_{p}}$ . Porque $\mathfrak{m}$ no es Eisenstein, existe una elección de base de $V$ tal que $\rho$ tiene valores en $\operatorname{GL}_{2}(\mathbf{T}_{\mathfrak{m}})$ . La red $L\subset V$ correspondiente a esta elección de base admite un submódulo libre $L^{+}=L\cap V^{+}$ de rango 1 estable bajo $G_{\mathbb{Q}_{p}}$ . Sin embargo, no me queda claro si $L$ admite un cociente libre de rango 1 estable bajo $G_{\mathbb{Q}_{p}}$ . Esto es cierto si $\rho$ modulo $\mathfrak{m}$ es de la forma $$\rho\sim\begin{pmatrix}\chi_{1}&*\\ 0&\chi_{2}\end{pmatrix}$$ con $\chi_{1}\neq\chi_{2}$ porque entonces $L/L^{+}$ está generada por un único elemento según el lema de Nakayama. Sin embargo, sin esta hipótesis, no veo una prueba evidente de este hecho, ni tengo buenas razones para creer que deba ser cierto. ¿Alguien lo sabe con seguridad?
