Prueba de que no hay forma cerrada de la solución

Question

Cómo puedo probar que no existe la forma cerrada de la solución a la ecuación de $2^x + 3^x = 10$?

Answer 1

Hay una solución para esta ecuación, pero no sé que se puede hacer de una forma cerrada de la solución.

Como $\lim_{x\rightarrow -\infty} 2^x + 3^x = 0$ $\lim_{x \rightarrow \infty} 2^x + 3^x = \infty$ y debido a $2^x + 3^x$ es continua debe ser un punto donde

$2^x + 3^x = 10$

por el teorema del valor intermedio.

Answer 2

Por el camino, su ecuación puede escribirse en la forma

$$H^{(x)}_3=11$$

donde H es la generalizada número armónico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=HarmonicNumber[3%2C+x]%3D%3D11

Así que para encontrar x, usted debe investigar la función inversa generalizada número armónico.