Evaluar la integral doble

Question

$$\int_0^3 \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} (x^2+y^2+\sin(\pi(x^2+y^2)))\,dy\,dx$$

*Perdón si el mathjax está mal, soy nuevo en esto.

De todos modos, puedo utilizar las propiedades de las integrales dobles para hacerlo

$$\int_0^3 \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} x^2+y^2 \,dy\,dx + \int_0^3 \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \sin(\pi(x^2+y^2))\,dy\,dx$$

A partir de ahí puedo resolver la primera expresión de la integral doble pero no estoy seguro de la segunda expresión de la integral doble:

$$\int_0^3 \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \sin(\pi(x^2+y^2))\,dy\,dx$$

Se agradecería un empujón en la dirección correcta sobre cómo resolver esta segunda expresión.

Answer 1

Convierte la integral en coordenadas polares. Observa que la región que estás integrando es el semicírculo de radio que se encuentra en el semiplano derecho. Por lo tanto, la integral se convierte en $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^3 (r^2 + \sin(\pi r^2)) \,r\, dr \,d \theta = \pi \cdot \int_0^3 (r^2 + \sin(\pi r^2)) \,r\, dr$$ Todo lo que tenemos que evaluar ahora es $\displaystyle \int_0^3 (r^2 + \sin(\pi r^2)) \,r\, dr$ . \begin{align} \int_0^3 (r^2 + \sin(\pi r^2)) \,r\, dr & = \int_0^3 r^3 dr + \int_0^3 r \sin( \pi r^2) \,dr = \left. \dfrac{r^4}4 \right \vert_{r=0}^{r=3} + \int_0^3 \dfrac{d( \cos(\pi r^2))}{-2 \pi}\\ & = \dfrac{81}4 - \dfrac{\cos(9 \pi) - \cos(0)}{2 \pi} = \dfrac{81}4 + \dfrac1{\pi} \end{align} Por lo tanto, la integral es $$\pi \left(\dfrac{81}4 + \dfrac1{\pi}\right) = 1 + \dfrac{{81}\pi}4$$

Answer 2

Sugerencia: utilice la coordenada polar, es decir, sustituya $x=r\cos t$ y $y=r\sin t$