¿El análisis no estándar sigue utilizando la topología clásica?

Question

Entiendo que el análisis no estándar se considera generalmente como una alternativa a la $\epsilon$ - $\delta$ enfoque del análisis clásico.

Así, por ejemplo, supongo que la definición de una función continua entre espacios métricos se haría rigurosa utilizando infinitesimales, en lugar del habitual $\epsilon$ - $\delta$ definición.

Sin embargo, la noción de continuidad puede generalizarse a funciones entre espacios topológicos arbitrarios.

Mi pregunta es, ¿cómo se sitúa el análisis no estándar en relación con la topología general? ¿Se siguen definiendo y estudiando conceptos como "función continua entre espacios topológicos" y, en caso afirmativo, se definen de la misma manera que en el enfoque clásico?

¿Qué pasa con la compacidad y la conectividad? ¿Se definen de la misma manera, o se definen de forma diferente?

En términos más generales, ¿cuánto de los conocimientos de una persona sobre el análisis clásico puede esperarse que se transfiera al enfoque no estándar?

Answer 1

Las técnicas no estándar, mediante algunas herramientas lógicas (normalmente el teorema de compacidad o la construcción de ultrapoderes) pueden aplicarse, y se aplican, a muchas áreas, como la teoría del espacio métrico, la topología, la teoría de la medida, la teoría de retículos y la teoría de categorías.

La topología no estándar enriquece la topología ordinaria del mismo modo que el cálculo no estándar enriquece el cálculo ordinario. Las definiciones familiares de la topología pueden extenderse a nociones no estándar, se aplica el principio de transferencia y los argumentos típicos de la topología pueden sustituirse por argumentos no estándar.

En cuanto a la conectividad, hay poca diferencia entre la topología ordinaria y la no estándar. Curiosamente, la noción de compacidad se ilumina de forma diferente con el análisis no estándar en lo que se considera una de las consecuencias inmediatas más bonitas de las técnicas no estándar en topología. El resultado se debe a Robinson y afirma que un espacio topológico es compacto si, y sólo si, en una ampliación cada punto está infinitesimalmente cerca de un punto estándar.

En cuanto a su última pregunta, el principio de transferencia responde precisamente a eso. Cualquier propiedad de primer orden es verdadera clásicamente si, y sólo si, es verdadera en una ampliación.