La asignación de homotópica a la identidad del mapa tiene un punto fijo

Question

Supongamos $\phi:\mathbb{S}^2\to\mathbb{S}^2$ es una asignación, homotópica a la identidad del mapa. Demostrar que existe un punto fijo $\phi(p)=p$.

Answer 1

Has visto homología y el grado de continuo asignaciones? Si es así, esto es bastante corto:

Desde $f$ es homotópica a la identidad, $\deg f = \deg \text{id}_{S^2} = +1$. Por otro lado, si un mapa continuo $g:S^n\to S^n$ no tiene puntos fijos, a continuación,$\deg g = (-1)^{n+1}$. Esto demuestra que $f$ debe tener un punto fijo, ya que de lo contrario $\deg f = (-1)^{2+1} = -1$.

Alternativamente, usted puede probar que cualquier mapa de $S^n\to S^n$ sin punto fijo es homotópica a la antipodal mapa. (Este se utiliza para probar la afirmación sobre la $g$ en la prueba anterior.) Tenga en cuenta que si $f$ no tiene puntos fijos, entonces $$h(x, t) = (1-t)f(x)-tx$$ is nonzero, so $h(x,t)/|h(x,t)|$ defines a homotopy from $f$ to the antipodal map. (This proof is in Hatcher, Algebraic Topology, section 2.2.) And the antipodal map is homotopic to the identity if and only if $$ n es impar, así que esto demuestra que el reclamo por contraposición.

Answer 2

Alternativamente, esto se desprende de la Lefschetz teorema de punto fijo. Como $\phi$ es homotópica a la identidad del mapa, el Lefschetz número de $\phi$ es sólo la característica de Euler de $S^2$, que es de 2. Como $2 \neq 0$, se deduce que el $\phi$ tiene al menos un punto fijo.

Answer 3

He aquí una idea: para cada punto de $p \in S^2$, vamos a $v_p$ ser el resultado de proyectar ortogonalmente $\phi(p)-p \in \mathbb{R}^3$ sobre el plano tangente en $p$. Si $\phi$ no tiene ningún punto fijo, esto da un distinto de cero en todas partes de sección continuo de la proyección de $T(S^2) \to S^2$, que sabemos que no puede existir ("peludo teorema de la bola").

Edit: por supuesto, la idea anterior es fallido, como Harald señaló. Posiblemente el resquebrajamiento de la segunda idea es la de considerar un homotopy $H(t, -)$ $\phi$ a la identidad. Suponga que $\phi$ no tiene ningún punto fijo. Para cada una de las $p$, vamos a $t(p)$ ser el menos $t$ tal que $\|H(t, p) - p\| = (1/2)\|\phi(p)-p\|$. A continuación, defina $\psi(p) = H(t(p), p)$. Esta $\psi$ no tiene ningún punto fijo, y $\psi(p)$ nunca antipodal a $p$. El resto de cosa a comprobar es que el $p \mapsto t(p)$ es continua.