Denotan por
$$p(t,x) := \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \exp \left(- \frac{x^2}{2t} \right), \qquad x \in \mathbb{R},$$
la densidad de la distribución normal con una media de $0$ y la varianza $t$. Como ya se ha señalado, esta función resuelve la ecuación del calor, es decir,
$$\frac{\partial}{\partial t} p(t,x) = \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} p(t,x).$$
Para $f \in C^2$ compacta compatible se deduce fácilmente a partir de la integración por partes-fórmula que
$$\int p(t,x) \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2} f(x) \, dx = \int f(x) \frac{\partial}{\partial t} p(t,x) \, dx. \tag{1}$$
Para $f \in C_b^2$ hemos creado $$M_t^f := f(W_t) - f(W_0) - \int_0^t \frac{1}{2} f''(W_r) \, dr.$$ We have to show that $$\mathbb{E}(M_t^f - M_s^f \mid \mathcal{F}_s) = 0 \qquad \text{for all $s \leq t$}.$$ Since $(W_t)_{t \geq 0}$ has independent and stationary increments, we know that $W_t-W_s$ and $\mathcal{F}_s$ are independent and $W_t-W_s \sim W_{t-s}$. Por lo tanto,
$$\begin{align*} \mathbb{E}(M_t^f - M_s^f \mid \mathcal{F}_s) &= \mathbb{E}(f((W_t-W_s)+W_s) \mid \mathcal{F}_s) - f(W_s) \\ &\quad - \frac{1}{2} \int_s^t \mathbb{E}(f''((W_r-W_s)+W_s) \mid \mathcal{F}_s) \, dr \\ &= \mathbb{E} f(W_{t-s}+z) \bigg|_{z=W_s} - f(W_s) - \frac{1}{2} \int_s^t\mathbb{E}[f''(z+(W_r-W_s))] \big|_{z=W_s} \, dr \\ &= \mathbb{E} f(W_{t-s}+z) \bigg|_{z=W_s} - f(W_s) - \frac{1}{2} \int_0^{t-s} \mathbb{E}[f''(z+W_r)] \big|_{z=W_s} \, dr \\ &= \mathbb{E} \left[ f(z+W_{t-s})-f(z) - \frac{1}{2} \int_0^{t-s} f''(W_r+z) \, dr \right] \bigg|_{z=W_s} \end{align*}$$
(En el último paso, hemos utilizado ese $(W_t)_{t \geq 0}$ tiene incrementos estacionarios, es decir,$W_r-W_s \sim W_{r-s}$, y un cambio de variables). Establecimiento $\varphi(x) := f(x+z)$ fijos $z \in \mathbb{R}$, por lo tanto concluimos que es suficiente para mostrar que
$$\mathbb{E}(M_{t-s}^{\varphi} - M_0^{\varphi}) = \mathbb{E} \left[ \varphi(W_{t-s}) - \varphi(0)- \frac{1}{2} \int_0^{t-s} \varphi''(W_r) \, dr \right] = 0. \tag{2}$$
Ahora fix $0 <\epsilon < u$. Entonces, por el teorema de Fubini ("Fub", para abreviar)
$$\begin{align*} \mathbb{E}(M_u^\varphi-M_\varepsilon^\varphi) &= \mathbb{E}\left(\varphi(W_u) - \varphi(W_{\varepsilon}) - \frac{1}{2} \int_{\varepsilon}^u \varphi''(W_r) \, dr \right) \\ &\stackrel{\text{Fub}}{=} \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \cdot p(u,x) \, dx - \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \cdot p(\varepsilon,x) \, dx - \frac{1}{2} \int_{\varepsilon}^u \int_{\mathbb{R}} \varphi''(x) \cdot p(r,x) \, dx \, dr \\ &\stackrel{(1)}{=} \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \cdot (p(u,x)-p(\varepsilon,x)) \, dx - \int_{\varepsilon}^u \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \cdot \frac{\partial}{\partial r} p(r,x) \, dx \, dr \\ & \overset{\text{Fub}}{\underset{\varepsilon>0}{=}}\int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \cdot (p(u,x)-p(\varepsilon,x)) \, dx - \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \cdot \underbrace{\int_{\varepsilon}^u \frac{\partial}{\partial r} p(r,x) \, dr}_{p(u,x)-p(\varepsilon,x)} \, dx \\ &= 0 \tag{3} \end{align*}$$
Desde $M_{\epsilon}^{\varphi} \to M_0^{\varphi}$ $\epsilon \to 0$ ($f$ es continua) y $$\|M_{\epsilon}^f\|_{\infty} \leq 2 \|f\|_{\infty} + u \|f''\|_{\infty}, \qquad 0 < \epsilon < u$$ it follows from the dominated convergence theorem that we can let $\epsilon \to 0$ y obtener
$$0 \stackrel{(3)}{=} \lim_{\epsilon \to 0} \mathbb{E}(M_u^\varphi-M_\varepsilon^\varphi) = \mathbb{E}(M_u^\varphi-M_0^\varphi).$$
Esto demuestra $(2)$.
Nota: Esta respuesta se desprende de la prueba presentada por René Schilling y Lothar Partzsch en el Movimiento Browniano de Una Introducción a los Procesos Estocásticos, Capítulo 5.
