¿Cuál es la razón detrás de la relación de Pitágoras en una hipérbola?

Question

Estoy actualmente (en mi Pre-curso de Cálculo) derivando las ecuaciones de las secciones cónicas. Yo muy mucho a entender cómo la relación, en una elipse, entre el $a, b$, e $c$ está establecido. Sabiendo que en una elipse, la suma de las distancias de cada foco en el punto de $(0, b)$, un extremo del eje menor, es equivalente a la suma de las distancias de cada foco a la derecha del vértice, por el lugar mismo de la definición de la elipse. Al ver este hecho, me puse la distancia de $(0, b)$ $(c, 0)$igual a la distancia de $(a, 0)$ $(c, 0)$y, a través de álgebra, llegaron a la relación de Pitágoras $b^2=a^2-c^2$. (*Nota: este se basa en una elipse centrada en el origen y eje mayor acostado en el eje de las x, pero claro entiendo cómo la relación se mantiene, no importa cómo traducimos y orientar a la elipse. Acabo de utilizar esta base de caso para la derivación.)

Sin embargo, no puedo decir que entiendo el de Pitágoras de la relación establecida por la hipérbola. Comencé la derivación con una hipérbola centrada en el origen y eje transversal acostado en el eje de las x. El punto de $(0, b)$ no está ni siquiera en la hipérbola en sí, mientras que$(a, 0)$$(c, 0)$, siendo representante de la parte derecha del vértice y el lado derecho se centran, respectivamente; sin embargo, mi libro de texto descarta la relación de $a^2+b^2=c^2$ fuera de la nada y utiliza esa relación para terminar la derivación de la ecuación. Me siento cómodo con todas las otras partes de la derivación con la excepción de esta relación de Pitágoras. Se trata, literalmente, completamente fuera de la nada para mí, y he buscado en la internet para horas de hoy tratando de encontrar la prueba de esta relación, y no han encontrado absolutamente nada. Un sitio, fui a Purplemath, incluso escribió textualmente que la prueba fue "larga y dolorosa", y dijo que sólo "memorizar" la relación y "avanzar".

Mi última pregunta es: ¿dónde en la tierra hace esta relación, $a^2+b^2=c^2$, para una hipérbola, incluso vienen? ¿Cuál es la geométrica/razonamiento algebraico? Quiero entender completamente esta derivación y este es el único obstáculo.

Muchas gracias!

Answer 1

Considere la siguiente imagen:

Aquí tengo que dibujar una hipérbola de la forma $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,$$ for some $0 < un < b$. The asymptotes $s/b = \pm x/a$ también se han demostrado, y es fácil ver de forma algebraica que las asíntotas de hecho debe ser de estas ecuaciones.

El rectángulo verde se dibuja tales que la anchura horizontal es la distancia $2a$, con lo que los lados opuestos son tangentes a los vértices de la hipérbola en $(\pm a, 0)$. La altura vertical del rectángulo se elige de forma que el rectángulo de vértices están en las asíntotas, por lo tanto la altura es de $2b$ y la del rectángulo de vértices se $(\pm a, \pm b)$, donde los signos pueden ser elegidos de forma independiente.

El círculo verde es simplemente el círculo que circunscribe a la del rectángulo. La intersección de esta circunferencia con la $x$-eje es la ubicación de la hipérbola de focos, en $(\pm c, 0)$. Es natural ver, entonces, que $$c^2 = a^2 + b^2,$$ de nuestra descripción de la del rectángulo de vértices y el de Pitágoras relación que se relaciona el rectángulo del ancho y la altura a la circunradio.

La pregunta, entonces, es por eso que el enfoque pasa a ser ubicado en el punto de intersección de esta circunferencia con el eje de coordenadas? La razón es que la definición de la hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia absoluta de distancias a los focos es constante. Así, por ejemplo una selección de $c$, es bastante fácil (aunque tedioso) para mostrar que los puntos de $(x,y)$ la satisfacción de la anterior ecuación para la hipérbola tendrá una diferencia absoluta de las distancias de $(\pm c,0)$ una constante. ¿Cuál es este valor constante?