La generalización del Postulado de Bertrand

Question

Bertrand postulado dice que hay un primer $p$$n$$2n-2$$n>3$. De acuerdo a Dirichlet del teorema tenemos que un sequaence $$a\cdot n+b$$ tiene una infinidad de números primos iff $a$ $b$ son relativamente primos. Así que, en cierto sentido, el postulado de Bertrand le da un máximo de tiempo para encontrar un alojamiento en la secuencia $$2\cdot n+1$$ Entonces, la pregunta es: hay una generalización de Bertrand Postulado de secuencias de $a\cdot n+b$ lograr que la del teorema de Dirichlet?

EDIT: (Para una mayor explicación concisa de la particular generalización.) Sabemos que, dada $$a_n=2\cdot n+1$$ tenemos que para todos los $m$ no es una de las principales en la secuencia mayor que $a_m$ y menos de $a_{2m}$. Así que, la cosa es que si hay una cierta generalización de Bertrand Postulado el uso de la secuencia de la forma, para una secuencia arbitraria $$c_n=a\cdot n+b$$ con $a$ $b$ coprime. Algo como, para cada primo relativo $a$$b$, hay un $k\leq a\cdot b$, de tal manera que para todos los $m$ no es una de las principales en la secuencia entre el$c_m$$c_{k\cdot m}$.

Este tipo de cosas es lo que estoy buscando.

Answer 1

La respuesta es que no es una generalización del Postulado de Bertrand. Para fizing constantes, en el resto de la respuesta $a$ $b$ será coprime números, y $c_n$ será dada la secuencia de

$$c_n=a+bn$$

Consideramos que el primer número teorema de progresiones aritméticas, esto decir que

$$\pi_{a,b}(x)\sim \frac{1}{\varphi(b)}\frac{x}{\log x}\text{,}$$

donde

$$\pi_{a,b}(x)=\text{Card}\{p\leq x\,|\,p\text{ is prime and }p\equiv a\text{ (mod }b\text{)}\}\text{,}$$

$\phi$ es el de Euler totient función y $\sim$ indican que el límite del cociente de dos funciones tiende a $1$ $x$ tiende a infinito. Vamos ahora a $\rho_{a,b}$ ser dada por

$$\rho_{a,b}(n)=\text{Card}\{k\leq n\,|c_n\text{ is prime}\}\text{,}$$

podemos mostrar por straighforward de cálculo que

$$\rho_{a,b}(n)=\pi_{a,b}(a+bn)-\pi_{a,b}(a)\text{.}$$

A partir de esto, tenemos por el teorema anterior que

$$\rho_{a,b}(n)\sim \frac{1}{\varphi(b)}\frac{a+bn}{\log (a+bn)}\text{,}$$

y así, con los métodos estándar de análisis,

$$\rho_{a,b}(n)\sim \frac{b}{\varphi(b)}\frac{n}{\log n}\text{.}$$

Aquí, podemos demostrar, que para todos los $\varepsilon>0$,

$$\lim_{n\to \infty}\rho_{a,b}((1+\varepsilon)n)-\rho_{a,b}(n)=\infty$$

y así definir $N_\varepsilon$ como el primer $n$ para que la diferencia anterior es positiva para todos los números naturales mayores o iguales que él, es decir, $\rho_{a,b}((1+\varepsilon)n)-\rho_{a,b}(n)$ es positivo para todos los $n\geq N_\varepsilon$ y negativo para $n=N_\varepsilon-1$.

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que, dado $\varepsilon>0$, para todos los $n\geq N_\varepsilon$ no es un porcentaje ($k$$n$$(1+\varepsilon)n$tal que $c_k$ es primo. Además, podemos hacer $\varepsilon$ lo suficientemente grande tal que $N_\epsilon$ es cero, ya que

$$\varepsilon\mapsto N_\varepsilon$$

es monótona decreciente de la función. De esta manera, obtenemos Bertrand postulado de progresiones aritméticas.

Answer 2

Una generalización de Bertrand postulado sé que es un teorema de Sylvester y Schur. Véase, por ejemplo, http://www.math.uiuc.edu/~pppollac/sschur.pdf

El teorema dice que para cualquier entero positivo $k$ el producto de $k$ enteros consecutivos mayor que $k$ contiene un factor primo mayor que $k$.

Espero que esto les ayude de alguna manera.