Suma de dos variables aleatorias uniformes

Question

Estoy calculando la suma de dos variables aleatorias uniformes $X$ y $Y$ para que la suma sea $X+Y = Z$ . Como los dos son independientes, sus densidades son $f_X(x)=f_Y(x)=1$ si $0 \leq x \leq1$ y $0$ de lo contrario. La densidad de la suma se convierte $f_Z(z)= \int_ {- \infty }^ \infty f_X(z-y)f_Y(y)dy= \int_0 ^1f_X(z-y)dy$ por convolución. Estoy atascado en esta etapa. ¿Cómo procedo con mi integral? Creo que un diagrama lo hace fácil, pero no sé cómo proceder.

Answer 1

Una pista: Divida el cálculo en dos casos: (i) $0\le z\le 1$ y (ii) $1\lt z\le 2$ .

Añadido: (i) si $0\le z\le 1$ entonces $f_X(z-y)=1$ si $0\le y\le z$ y $f_X(z-y)=0$ si $y\gt z$ . De ello se desprende que $$\int_0^1 f_X(z-y)\,dy=\int_0^z 1\cdot dy=z$$ .

(ii) Si $1\lt z\le 2$ entonces $f_X(z-y)=1$ si $z-1\le y \le 1$ y $f_X(z-y)=0$ en otro lugar. De ello se desprende que $$\int_0^1 f_X(z-y)\,dy=\int_{z-1}^1 1\cdot dy=2-z.$$ Así, $f_Z(z)=z$ si $0\le z\le 1$ y $f_Z(z)=2-z$ si $1\le z\le 2$ . Y para completar, $f_Z(z)=0$ si $z$ está fuera del intervalo $[0,2]$ .

Observación: Sospecho que la forma de convolución no es en este caso más rápida que la forma "lenta" de encontrar primero la función de distribución acumulativa $F_Z(z)$ y la diferenciación.

Answer 2

pista: el integrando es cero a menos que $0 \le z-y \le 1$