Quiero resolver el siguiente ejercicio de Dummit & Foote del Álgebra Abstracta:
Demostrar que los subgrupos y grupos cociente de solucionable grupos tienen solución
Mi intento:
Deje $G$ ser solucionable grupo con una cadena de $1=G_0 \triangleleft G_1 \triangleleft \dots \triangleleft G_s=G$ de manera tal que todos los factores de $G_i/G_{i-1}$ son abelian.
Deje $H \leq G$ ser un subgrupo. Pretendemos que la cadena de $1=H_0 \leq H_1 \leq \dots \leq H_s=H$ donde $H_i=G_i \cap H$ hace el truco. En primer lugar vamos a comprobar que $H_i \triangleleft H_{i+1}$ todos los $i$. Deje $x \in H_{i+1}=G_{i+1} \cap H$. Desde $x \in H$ tenemos $x H x^{-1}=H$. Desde $x \in G_{i+1} \triangleright G_i$ tenemos $xG_i x^{-1}=G_i$. La combinación de estos da $x(H \cap G_i) x^{-1}=H \cap G_i$, según se requiera.
A continuación, vamos a probar que los cocientes $H_{i+1}/H_i=(G_{i+1} \cap H)/(G_i \cap H)$ son abelian. Deje $x,y \in G_{i+1} \cap H$. Nos gustaría demostrar que $xy (G_i \cap H)=yx (G_i \cap H)$. Observar que utilizando el hecho de que el cosets de $G_i$ $G_{i+1}$ pueden ser intercambiados, nos encontramos con
\begin{equation} \begin{split} &xy (G_i \cap H)=(xy G_i) \cap (xy H)=(x G_i) (y G_i) \cap H=(y G_i)(x G_i) \cap (yx H)\\ &=(yx G_i) \cap (yx H)=yx (G_i \cap H). \end{split} \end{equation}
Deje $N \trianglelefteq G$ ser un subgrupo normal, y deje $G/N$ ser el correspondiente cociente grupo. Sugerimos los siguientes normal de la cadena:
\begin{equation} 1=G_0/ N \triangleleft G_1/ N \triangleleft \dots \triangleleft G_s/ N =G/N. \end{equation}
Podemos probar, primero, que el $G_i/N \triangleleft G_{i+1}/N$:
Deje $gN \in G_{i+1}/N,aN \in G_i/N$. Tenemos $(gN)(aN)(gN)^{-1}=(gag^{-1})N$. Desde $G_i \trianglelefteq G_{i+1}$ el elemento $gag^{-1} \in G_i$, lo que da $(gN)(G_i/N)(gN)^{-1} \in G_i/N$ todos los $gN \in G_{i+1}/N$.
Los cocientes (o factores) son
\begin{equation} (G_{i+1}/N) \big/ (G_i/N), \end{equation} y queremos demostrar que son abelian. De hecho, vamos a $g_1N(G_iN),g_2 N(G_iN) \in (G_{i+1}/N) \big/ (G_i N)$ ( $g_1,g_2 \in G_{i+1}$ ). Estos dos arbitraria de elementos de conmutar el fib
\begin{equation} [g_2Ng_1N]^{-1}[g_1Ng_2N] \in G_i/N \end{equation} que es equivalente a la condición de $g_1^{-1}g_2^{-1}g_1g_2 \in G_i$. Ya tenemos que el cociente $G_{i+1}/G_i$ es abelian sabemos que $(g_1G_i)(g_2G_i)=(g_2G_i)(g_1 G_i)$, lo que da precisamente esta condición. Llegamos a la conclusión de que el cociente de los grupos de solucionable grupos se pueden resolver.
Es mi solución correcta? Si no, por favor me ayude a solucionarlo. Gracias!
