De donde Yuval dejó, es fácil demostrar que el caso de $p=2$. En ese caso
$$|(1-(\sin \alpha)^p)^{1/p} - (1-(\sin \beta)^p)^{1/p}| \leq (1 - (\cos (\alpha-\beta))^p)^{1/p} \; ,$$
se reduce a
$$|\cos \alpha - \cos \beta | \leq \sin(\alpha-\beta) \; ,$$
suponiendo sin pérdida de generalidad que $\alpha > \beta$. (Nota, el caso de $\alpha=\beta$ es trivial, incluso cuando $p>2$, de todos modos). Con este supuesto, también podemos escribir
$$\cos \beta \leq \cos \alpha + \sin(\alpha-\beta) \; ,$$
o de trabajo de la $\sin$ con una fórmula para la resta de los ángulos y la reorganización de
$$\frac{\cos \beta}{1-\sin \beta} \leq \frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha} \; .$$
Por lo tanto, lo que demuestra el caso de $p=2$ cantidades a mostrar que la $\frac{\cos x}{1-\sin x}$ es una función creciente de $x$$[0,\pi/2]$, lo que se puede hacer mirando sus derivados.
No he encontrado el caso de $p>2$, pero todavía pienso que la explotación de la concavidad de las propiedades de $(1-x^p)^{1/p}$ es la clave para resolver el problema.