Cómo mostrar un número complejo de la desigualdad

Question

Un compañero de clase me consultó este problema, después de unos momentos pensé que me pareció que era difícil, así que me gustaría probar mi suerte aquí.

Deje $z_1,z_2,z_3,z_4\in \mathbb{C}$ tal que $|z_1|^2+|z_2|^2=|z_3|^2+|z_4|^2=1$. Cómo mostrar $$(1-|z_1|^p)^{1/p}\le(1-|z_3|^p)^{1/p}+(1-|z_1\overline{z}_3+z_2\overline{z}_4|^p)^{1/p}, $$ where $p\ge2$ es un número entero?

Answer 1

Supongamos que arreglar $w_1 = |z_1|$$w_3 = |z_3|$. Con el fin de maximizar $|z_1\overline{z}_3 + z_2\overline{z}_4|$, necesitamos que los argumentos de $z_1\overline{z}_3$ $z_2\overline{z}_4$ a ser el mismo, y en ese caso el valor de $|z_1||z_3| + |z_2||z_4|$. Así podemos reescribir la desigualdad en una forma equivalente: $$ (1-w_1^p)^{1/p} \leq (1-w_3^p)^{1/p} + (1-(w_1w_3 + \sqrt{(1-w_1^2)(1-w_3^2)})^p)^{1/p}. $$ Equivalentemente, $$ |(1-w_1^p)^{1/p} - (1-w_3^p)^{1/p}| \leq (1-(w_1w_3 + \sqrt{(1-w_1^2)(1-w_3^2)})^p)^{1/p}. $$ Escrito $w_1 = \sin \alpha$$w_3 = \sin \beta$, este es el mismo como $$ |(1-(\sin \alpha)^p)^{1/p} - (1-(\sin \beta)^p)^{1/p}| \leq (1 - (\cos (\alpha-\beta))^p)^{1/p}. $$ Aquí $0 \leq \alpha,\beta \leq \pi/2$.

Que tan lejos como lo tengo.

Answer 2

De donde Yuval dejó, es fácil demostrar que el caso de $p=2$. En ese caso

$$|(1-(\sin \alpha)^p)^{1/p} - (1-(\sin \beta)^p)^{1/p}| \leq (1 - (\cos (\alpha-\beta))^p)^{1/p} \; ,$$

se reduce a

$$|\cos \alpha - \cos \beta | \leq \sin(\alpha-\beta) \; ,$$

suponiendo sin pérdida de generalidad que $\alpha > \beta$. (Nota, el caso de $\alpha=\beta$ es trivial, incluso cuando $p>2$, de todos modos). Con este supuesto, también podemos escribir

$$\cos \beta \leq \cos \alpha + \sin(\alpha-\beta) \; ,$$

o de trabajo de la $\sin$ con una fórmula para la resta de los ángulos y la reorganización de

$$\frac{\cos \beta}{1-\sin \beta} \leq \frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha} \; .$$

Por lo tanto, lo que demuestra el caso de $p=2$ cantidades a mostrar que la $\frac{\cos x}{1-\sin x}$ es una función creciente de $x$$[0,\pi/2]$, lo que se puede hacer mirando sus derivados.

No he encontrado el caso de $p>2$, pero todavía pienso que la explotación de la concavidad de las propiedades de $(1-x^p)^{1/p}$ es la clave para resolver el problema.