Evaluar la integral indefinida $\int \frac{\sqrt{9-4x^{2}}}{x}dx$

Question

$$\int \frac{\sqrt{9-4x^{2}}}{x}dx$$ ¿Cómo puedo atacar a este tipo de problema?

Answer 1

Deje $x=\cfrac{3}{2}\sin\theta$,$dx=\cfrac{3}{2}\cos\theta\,d\theta$. \begin{align} \require{cancel} \int\frac{\sqrt{9-4x^2}}{x}\, dx&=\int\frac{\sqrt{9-4\left(\frac{3}{2}\sin\theta\right)^2}}{\cancel{\frac{3}{2}}\sin\theta}\, \cancel{\frac{3}{2}}\cos\theta\,d\theta\\ &=\int\frac{3\sqrt{1-\sin^2\theta}}{\sin\theta}\, \cos\theta\,d\theta\\ &=3\int\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\, \cos\theta\,d\theta\\ &=3\int\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}\,d\theta\\ &=3\int\frac{1-\sin^2\theta}{\sin\theta}\,d\theta\\ &=3\int\frac{1}{\sin\theta}\,d\theta-3\int\sin\theta\,d\theta\\ &=3\int\frac{1}{\sin\theta}\,d\theta+3\cos\theta+C \end{align}

La última integral se puede ver aquí, y puede realizarse mediante la sustitución de $u = \cos \theta$ y parcial de las fracciones.

\begin{align} \int \frac{d\theta}{\sin \theta} &= \int \frac{\sin \theta}{\sin^2 \theta} d\theta\\ &= \int \frac{\sin \theta}{1 - \cos^2 \theta} d\theta\\ &= \int \frac{-du}{1 - u^2}\\ &= \int \frac{du}{u^2 - 1}\\ &= \frac{1}{2}\left(\ln\ \left|1 - u\right| - \ln\ \left|1 + u\right|\right) + C_2\\ &= \frac{1}{2}\left(\ln\ \left|1 - \cos \theta\right| - \ln\ \left|1 + \cos \theta\right|\right) + C_2 \end{align}

Espero que esto ayuda a Dan.

Answer 2

Reescribir nuestras integral como $$\int 4x\frac{\sqrt{9-4x^2}}{4x^2}\,dx.$$ Deje $9-4x^2=4u^2$. A continuación,$x\,dx=-u\,du$, y llegamos a $$\int \frac{8u^2}{4u^2-9}\,du = \int \left( 2 + \frac{3}{2u - 3} - \frac{3}{2u + 3} \right)\ du.$$

Comentario: Pero la respuesta a tu pregunta acerca de este tipo de pregunta es, probablemente, sustitución trigonométrica, $2x=3\sin t$.

Answer 3

Sugerencia: $1-\sin^2t=\cos^2t\iff9-\underbrace{9\sin^2t}_{4\,x^2}=9\cos^2t=(3\cos t)^2$

Answer 4

$$(9-4x^2)^{1/2} = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}9^{1/2-n}(-4x^2)^{n}$$

$$\dfrac{(9-4x^2)^{1/2}}{x} = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}(-4)^{n}\left(\dfrac{9}{x^2}\right)^{1/2-n}$$

$$\int \left(\dfrac{9}{x^2}\right)^{1/2-n}(-4)^{n} \;\mathrm{d}x =(-4)^{n}9^{1/2-n}\int {x}^{1-2n}\; \mathrm{d}x = (-4)^{n}9^{1/2-n}\left(\dfrac{x^{2-2n}}{2-2n}\right) + C$$

$$\begin{align}\int \dfrac{(9-4x^2)^{1/2}}{x} \; \mathrm{d}x &= \sum_{n=0}^{\infty}\int\binom{1/2}{n}(-4)^{n}\left(\dfrac{9}{x^2}\right)^{1/2-n} \mathrm{d}x \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}(-4)^{n}9^{1/2-n}\left(\dfrac{x^{2-2n}}{2-2n}\right)\\ &= \dfrac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}(-4)^{n}3^{2-2n}\left(\dfrac{x^{2-2n}}{2-2n}\right)\\ &= \dfrac{1}{6}\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}(-4)^{n}\left(\dfrac{(3x)^{2-2n}}{1-n}\right) + c\end{align}$$