Sé que para un espacio de Banach $X$ y un funcional lineal $T:X\rightarrow\mathbb{R}$ en su doble $X'$ el siguiente se tiene: \begin{align}T \text{ is continuous } \iff \text{Ker }T \text{ is closed}\end{align} lo que probablemente tiene para los operadores generales $T:X\rightarrow Y$ con finito-dimensional espacio de Banach $Y$. Creo que el argumento no para de dimensiones infinitas espacios de Banach $Y$. Es la afirmación correcta? I. e. la continuidad del curso implica todavía la closedness del núcleo en general de los espacios de Banach $X,Y$, pero es a la inversa todavía verdad?
Respuestas
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El resultado es false si $Y$ es de infinitas dimensiones. Considere la posibilidad de $X=\ell^2$ $Y=\ell^1$ son no isomorfos como espacios de Banach (el doble de $\ell^1$ no es separable). Sin embargo ambos tienen una base de Hamel tamaño de continuo por lo tanto son isomorfos como espacios vectoriales. El núcleo del espacio vectorial isomorfismo es cerrado (ya que es el vector cero), pero puede no ser continua.
sam
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No, esto no es cierto. Aquí es un contraejemplo para cada infinito-dimensional espacio de Banach $Y$.
Tomar una discontinuo funcional $\phi\in Y^*$ (esto es siempre posible si $Y$ es de dimensiones infinitas, por el axioma de elección). Deje $A:=\ker \phi$, e $B$ cualquier algebraicas suplemento. Tenga en cuenta que $A$ no es cerrado, y $B$ es cerrado en vista de $\dim B=\text{codim} A=1$.
Considere la posibilidad de la proyección de $p:Y\to Y$ a $A$, w.r.t. el algebraicas suma directa de descomposición $Y=A\oplus B$. Ahora $\ker p=B$ es cerrado, sino $\ker(1-p)=A$ no es, por lo $p$ es discontinuo.
