¿Cuál es la curva descrita por el agua de una pelota de tenis que gira mojada?

Question

Estoy viendo esta foto de este y tengo curiosidad por saber cuál es la curva que describe el agua. Las involutas $$x=r\left[\cos(\theta+n)+\theta\sin(\theta+n)\right]\\ y=r\left[\sin(\theta+n)-\theta\cos(\theta+n)\right]$$ para diferentes $n$ parecen hacerlo bien al menos cerca de la pelota:

Pero me gustaría saber con precisión la idea de cómo se desarrolla la curva. Lo que estoy pensando es que el agua sale de la bola sobre la normal en cada punto debido a la adhesión a la misma y luego sólo debe extenderse "libremente". ¿Se puede describir fácilmente la evolución del agua o se ha hecho antes con precisión?

Answer 1

Creo que tienes razón. (Espiral involutiva: Wikipedia )

Si tomas una cuerda enrollada alrededor de una bola inmóvil y la desenrollas, su extremo traza una espiral involuta.

Del mismo modo, si la pelota está girando y la cuerda sale en una dirección, es la misma curva con respecto a la pelota. Una gota de agua que sale de la superficie de la bola debe viajar en línea recta hacia fuera del centro de la bola, con una velocidad igual a su velocidad tangencial cuando estaba en la superficie.

Answer 2

Si se supone que el agua sale tangencialmente de la bola y se ignoran los efectos de la gravedad se obtienen exactamente esas ecuaciones. Para verlo mira la trayectoria de una gota lanzada desde un punto determinado en el tiempo t (bola girando en el sentido de las agujas del reloj):

$x=x_0+v_{0x}t=r \cos\omega t+ r\omega t \sin(\omega t) $

$y=y_0+v_{0y}t=r \sin\omega t- r\omega t \cos(\omega t)$

La forma de la curva del agua que sale de un punto fijo en diferentes momentos dada por $t= \theta/\omega$ entonces se obtiene

$x=r \cos\theta+ r \theta \sin\theta $

$y=r \sin\theta- r\theta\cos\theta$

cada $n$ (no necesariamente un número natural) corresponde a un punto diferente de la esfera por el que escapa el agua, por lo que no tienen por qué estar igualmente separados, como se puede ver en la imagen, están situados de forma más aleatoria que uniforme.