La prueba para el curl de un curl de un campo de vectores

Question

Para un campo de vectores $\textbf{A}$, la curvatura de la curvatura se define por $$\nabla\times\left(\nabla\times\textbf{A}\right)=\nabla\left(\nabla\cdot\textbf{A}\right)-\nabla^2\textbf{A}$$ donde $\nabla$ es el habitual del operador y $\nabla^2$ es el vector de Laplace.

Cómo puedo probar esta relación? He probado el feo/unefficient/método de fuerza bruta, mediante la obtención de una expresión para la LHS y RHS para cualquier campo vectorial $$\textbf{A}=\left(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z)\right)$$

Que hace el trabajo (duh), pero hay una forma más elegante de hacer esto? Utilizando notación matricial, tal vez?

---

EDIT: me dieron muy buenas respuestas, desde varias perspectivas. Yo diría @Spencer de la derivación es la que yo estaba buscando, utilizando la notación de Einstein - y como un estudiante de física, esto fue muy útil. Sin embargo, @Vectornaut la solución no sólo es corta y elegante, pero también me presentó a toda una nueva gama de matemáticas - y como un teórico de la física de estudiantes, agradezco el aprendizaje de nuevas teorías matemáticas y tratando de ver cómo se pueden utilizar en la física.

Answer 1

Sí, hay una forma más elegante! Utiliza el lenguaje de las formas diferenciales, que ha sustituido a la del siglo 19, el idioma de los gradientes, divergencias y rizos en la moderna geometría. Se puede apreciar la simplicidad de este idioma, incluso antes de aprender a leer:

Para cualquier 1 formulario a -$A$, $$\begin{align*} (\star d)(\star d)A & = (\star d \star)dA \\ \operatorname{curl} \operatorname{curl} A & = d^\dagger dA \end{align*}$$ Recordando que $\Delta = d d^\dagger + d^\dagger d$, vemos que $$\begin{align*} \operatorname{curl} \operatorname{curl} A & = -d d^\dagger A + \Delta A \\ & = d(\star d \star)A + \Delta A \\ & = \operatorname{grad} \operatorname{div} A + \Delta A \end{align*}$$

Esta es la identidad que quería probar, donde $-\Delta$ es el vector de Laplace.

---

Mi lugar favorito para aprender acerca de las formas diferenciales es en los Capítulos 4 y 5 de Medidor de Campos, Nudos, y la Gravedad por Juan Báez y Javier Muniain.

Aquí está una áspera glosario que debe ayudarle a moverse entre el lenguaje de las formas diferenciales y el viejo lenguaje de cálculo vectorial. Voy a empezar por decirles que los distintos tipos de formas diferenciales, y las operaciones básicas con ellos.

• En $n$-dimensiones del espacio, hay $n+1$ tipos de formas diferenciales, a partir de la 0-formas a $n$-formas. Usted puede pensar en un $k$-como una forma de $k$-dimensiones de la densidad. Una 0-forma es una función, y una 1-forma es una fila de campo vectorial (en coordinar un lenguaje libre, un doble vector de campo).
• El exterior de derivados es una operación $d$ que convierte a $k$-formas en $(k + 1)$-formas. Como su nombre lo indica, se generaliza el funcionamiento de la diferenciación de una función.
• La estrella de Hodge es una operación $\star$ que convierte a $k$-formularios en a $(n - k)$-formas. Se trata del producto escalar entre vectores columna. De hecho, la estrella de Hodge codifica la misma información geométrica como el producto escalar: si conoces a uno, se puede reconstruir el otro.
• El codifferential es una operación $d^\dagger$ que convierte a $k$-formas en $(k - 1)$-formas. En un extraño espacio tridimensional, como ordinario espacio 3-dimensional, la aplicación de $d^\dagger$ $k$- formulario es el mismo que se aplica a $(-1)^k \star d \star$. En un espacio tridimensional, $d^\dagger$ siempre actúa como $-\star d \star$.

Si usted tenga en mente que una 0-forma es una función y una 1-forma es una fila de campo vectorial, todos los familiares de las operaciones de cálculo vectorial puede escribirse en términos de los de arriba.

• El gradiente de una función de $f$ es la 1-forma $df$.
• El curl de una 1-forma $A$ es la 1-forma $\star dA$.
• La divergencia de una 1-forma $A$ es la función de $\star d \star A$.
• El Laplaciano de una función o 1 formulario a- $\omega$ $-\Delta \omega$ donde $\Delta = dd^\dagger + d^\dagger d$. El operador $\Delta$ es a menudo llamado el de Laplace-Beltrami operador.

Con este glosario en la mano, usted debería ser capaz de seguir los pasos del cálculo anterior, que es principalmente sólo en la traducción de ida y vuelta entre las lenguas. La única parte difícil es conseguir el signo a la derecha cuando usted reescribir $d^\dagger$$\pm \star d \star$: usted tiene que averiguar a qué tipo de formulario de $d^\dagger$ que se aplica.

Answer 2

Normalmente yo sólo moler a través de estos tipos de cosas con la notación de Einstein. La notación habitual es que las repetidas índice se suman a lo largo de las direcciones del espacio. Así,

$$ x_i x_i = x_1^2+x_2^2+x_3^2.$$

Un producto con diferentes índices es un tensor, y en el caso de abajo tiene 9 diferentes componentes,

$$ x_i x_j = \left( \begin{array} \ x_1^2 & x_1x_2 & x_1 x_3 \\ x_2 x_1 & x_2^2 & x_2 x_3 \\ x_3 x_1 & x_3x_2 & x_3^2 \\ \end{array} \right).$$

Ya que estamos tratando con el curle también tenemos la de levi-cevita tensor $\epsilon_{ijk}$. Este tensor tiene la propiedad de que es igual a +1 cuando $ijk$ es una permutación de 123, -1 al $ijk$ es una permutación impar de 123, y cero en caso contrario.

$$ \epsilon_{ijk} = \begin{cases} 1 \qquad ijk=123,312,231 \\ -1 \qquad ijk=213,132,321 \\ 0 \qquad \text{otherwise} \end{casos} $$

Podemos usar la de Levi-Cevita tensor de escribir el producto cruz de dos vectores como,

$$ (\vec{u} \times\vec{v} )_k = \epsilon_{ijk} u_i v_j. $$ También será necesario el delta de Kronecker, $\delta_{ij}$, que es como una matriz identidad; es igual a 1 si los índices de partido y cero en caso contrario.

$$ \delta_{ij} = \begin{cases} 1 \qquad i=j \\ 0 \qquad i \neq j \end{casos} $$

---

Ahora que tenemos estas herramientas definidas empezamos por escrito de la curvatura de un campo de vectores,

$$ (\nabla \times \vec{A})_k = \epsilon_{ijk} \partial_i A_j$$

Ahora para obtener el rizo del rizo escribimos,

$$ (\nabla \times \nabla \times \vec{A} )_k = \epsilon_{ijk} \partial_i (\nabla \times \vec{A})_j = \epsilon_{ijk} \partial_i \epsilon_{abj} \partial_a A_b$$

$$ =\epsilon_{ijk} \epsilon_{abj} \partial_i \partial_a A_b $$

Ahora tenemos que considerar este producto de Levi-Cevita Símbolos, $ \epsilon_{ijk} \epsilon_{abj} $. Es posible expresar este producto en términos de delta de Kronecker,

$$\epsilon_{ijk} \epsilon_{abj} = \delta_{ib} \delta_{ka} - \delta_{ia} \delta_{kb},$$

No voy a probar esto aquí porque su fuera del alcance de la pregunta y no es difícil de comprobar.

Con esta identidad en la mano podemos obtener una forma más simple para $\nabla \times \nabla \times \vec{A}$,

$$ (\nabla \times \nabla \times \vec{A} )_k = (\delta_{ib} \delta_{ka} - \delta_{ia} \delta_{kb}) \partial_i \partial_a A_b $$

$$ = \delta_{ib} \delta_{ka}\partial_i \partial_a A_b - \delta_{ia} \delta_{kb}\partial_i \partial_a A_b $$

$$ = \partial_b \partial_k A_b - \partial_i \partial_i A_k $$

$$ = ( \nabla( \nabla \cdot \vec{A} ) - \nabla^2 \vec{A} )_k $$

lo que demuestra la identidad.

---

Este enfoque probablemente no parece sencilla para usted si usted no está familiarizado con las herramientas que estoy utilizando, pero honestamente este enfoque ha crecido mucho en mí de la manera más fácil para obtener el resultado rápidamente. Esta identidad viene todo el tiempo en la teoría de la Electricidad y el Magnetismo y este es el formalismo que utilizamos en la Física.

Answer 3

Uso geométricas del cálculo, el cálculo de álgebra de clifford. Deje $A$ algunos $k$-campo de vectores. Si $k=1$, entonces este es un convencionales de campo vectorial. Si $k=0$, entonces este es un campo escalar. Si $k=2$, $A$ es un "bivector campo"--con cada punto, podemos añadir algunos orientado al plano y a la magnitud. Comparar con el vector de campo de caso, en el que podemos asociar a cada punto de una línea con orientación (dirección) y la magnitud.

Ahora, para definir la acción de $\nabla$:

$$\nabla A = \nabla \cdot A + \nabla \wedge A$$

donde $\nabla \cdot A$ $k-1$ vector de campo, y $\nabla \wedge A$ $k+1$ vector de campo. Si $k=0$,$\nabla A = \nabla \wedge A$, por definición. Del mismo modo, si $k=n$,$\nabla A = \nabla \cdot A$.

Útil identidad: $\nabla \cdot (\nabla \cdot A) = 0$$\nabla \wedge (\nabla \wedge A) = 0$. Ambos de estos se derivan de la igualdad de la mezcla de derivadas parciales.

Por lo tanto, se puede inferir que

$$\nabla^2 A = \nabla (\nabla \cdot A + \nabla \wedge A) = \nabla \cdot (\nabla \cdot A) + \nabla \wedge (\nabla \cdot A) + \nabla \cdot (\nabla \wedge A) + \nabla \wedge (\nabla \wedge A)$$

El primer y último términos son, como ya hemos establecido, cero, y nos quedamos con

$$\nabla^2 A = \nabla \cdot (\nabla \wedge A) + \nabla \wedge (\nabla \cdot A)$$

Todo muy bien, pero ¿cómo podemos conectar de nuevo el cálculo vectorial? Relacionar estas dot y la cuña de productos para el producto cruzado de este modo:

$$a \wedge b = i(a \times b)$$

donde $i$ es la mano derecha de la unidad de trivector. Esto nos permite relacionar $\nabla \times A$ $A$ un campo de vectores, a $\nabla \wedge A$ así:

$$\nabla \wedge A = i (\nabla \times A)$$

También se nota una identidad similar que involucra un vector $a$ y un bivector $B$:

$$i (a \cdot B )= a \wedge (iB)$$

$iB$ es siempre un vector. Esto nos permite convertir puntos a las cruces, y la identidad se convierte en

$$\begin{align*}\nabla^2 A &= \nabla \cdot (\nabla \wedge A) + \nabla \wedge (\nabla \cdot A) \\ &= -i \nabla \wedge (i \nabla \wedge A) + \nabla (\nabla \cdot A) \\ &= -\nabla \times (\nabla \times A) + \nabla (\nabla \cdot A)\end{align*}$$

Y listo.

Answer 4

Vamos a seguir la sugerencia de @idm y el uso de la Grassmann identidad para hacer una prueba. $$a\times (b\times c) = b (a \cdot c) - (a\cdot b) c.\qquad (1)$$ Supongamos, que sabemos, que es cierto para $a$, $b$, $c$ estar con los vectores de números reales como sus elementos. La rigurosa prueba de la identidad $$\nabla \times (\nabla \times A)=\nabla (\nabla \cdot A)-\nabla^2 A\qquad (2)$$ puede ser construido a partir de (1) mirando los hechos básicos acerca de cómo los polinomios de trabajo.

Polinomio $p$ en las variables de $x_1,\dots,x_n$ es una expresión formal de la forma $p=\sum_{k_1,\dots,k_n} a_{k_1,\dots,k_n} x_1^{k_1}\dots x_n^{k_n}$, donde hay sólo un número finito de términos con distinto de cero $a_{k_1,\dots,k_n}$. En cada suma $k_i$ va por encima de todos los números enteros no negativos. Los términos de esta suma se llama su monomials, y los números reales $a_{k_1,\dots,k_n}$ son llamados coeficientes. Indicar con $p|_{x_n=b}$ el polinomio, obtenido a partir de $p$ reemplazando $x_n$ con un número real $b$ (por lo que se convierte en un polinomio en $n-1$ variables).

Reivindicación 1. Deje $p$ ser un polinomio en $x_1,\dots,x_n$, y deje $p|_{x_n=b}=0$. A continuación, $p=(x_n-b)q$ para algunos polinomio $q$.

Prueba. Reemplace$x_n$$y+b$$p$. Usted recibirá un polinomio $\widetilde p$$x_1,\dots,x_{n-1},y$. Por supuesto,$\widetilde p|_{y=0}=0$, por lo que todos monomials de $\widetilde p$ tienen ahora un valor distinto de cero poder de $y$. Por lo tanto, podemos escribir la $\widetilde p = y \widetilde q$ y reemplazar la espalda $y$ con $x_n-b$. $\square$

Reivindicación 2. Deje $p$ ser un polinomio en $x_1,\dots,x_n$, que no es 0 (es decir, al menos 1 coeficiente distinto de cero). Entonces no es cero en algún punto de $x_1=a_1,x_2=a_2,\dots,x_n=a_n$.

En otras palabras, distinto de cero el polinomio es distinto de cero como una función.

Prueba. Puedes demostrarlo por inducción en $n$. Para $n=0$ la demanda es trivial.

La inducción de paso. Deje $d$ es el grado de $p$ con respecto a la variable $x_n$ (es decir, la más alta k_n en el plazo $ax_1^{k_1}\dots x_n^{k_n}$ con un valor distinto de cero $a$, apareciendo en $p$). Queremos encontrar a $a_n$, de tal manera que después de la sustitución por $x_n$ obtenemos un polinomio distinto de cero de a $x_1,\dots,x_{n-1}$. Entonces, podemos aplicar la hipótesis de inducción para encontrar $a_1,\dots,a_{n-1}$. Asumir lo contrario, que no podemos encontrar $a_n$. A continuación, para cada número real $b$ obtenemos $p|_{x_n=b}=0$. Encontrar cualquier $d+1$ diferentes números reales $b_0,\dots,b_d$. Mediante la aplicación de la reivindicación 1 $d+1$ a veces $p$, escribir $p=(x_n-b_0)(x_n-b_1)\dots(x_n-b_d)q$. Por supuesto, $q$ es distinto de cero (de lo contrario $p$ será cero). Así que el grado de $p$ $x_n$ al menos $d+1$. Contradicción. $\square$

Reivindicación 3. Si abrimos los soportes en cada uno de los 3 componentes de (1) (por el sólo uso de las definiciones de $\times$$\cdot$, distributiva ley, conmutatividad y asociatividad de la multiplicación y la suma), a continuación, vamos a obtener la misma expresión en el lado izquierdo como en el derecho.

Prueba. Supongamos que en uno de los 3 componentes obtenemos la expresión $L$ a la izquierda, y $R$ a la derecha, y estos no son los mismos. A continuación, $L-R$ es un trivial polinomio en 9 variables. Pero de acuerdo a Grassmann identidad, es cero para todos los valores de estos 9 variables. Así que por la reivindicación 2 debe ser idéntica a cero. $\square$

Derivados $\partial/\partial x$, $\partial/\partial y$, $\partial/\partial z$ y los componentes de la $A$ satisfacer todas las propiedades que necesita para mostrar (1), es decir, todas las propiedades, de las indicadas en la reivindicación 3, excepto que no podemos permutar componentes de $A$ con derivados.

Pero tenga en cuenta que mientras que la expansión de $(1)$ siempre podemos mantener $c$ en el extremo derecho de cada producto. Así que no es necesario utilizar la asociatividad de la multiplicación para permutar los componentes de $c$ con componentes de $a$$b$.

Así que podemos aplicar (1) para mostrar (2) rigor.

Answer 5

Sólo una nota al margen.

Si la curvatura de una curva de un campo se define de tal manera, no necesita demostrar nada. Estrictamente filosófico, estos conceptos no existen en la naturaleza, pero son parte de una "red" de definiciones abstractas y las conexiones lógicas. Estos conceptos fueron creados por la imaginación humana y continuar residiendo en la misma, independientemente de si se pueden usar para describir los fenómenos físicos.Resulta que algunos de estos conceptos son más fuertes o más débiles o equivalente a la de los demás. Aquí es donde la "prueba". Las cosas sólo pueden establecer en una prueba son conexiones lógicas entre los diferentes axiomas y definiciones, a veces de corte por delante con pre-existentes demostrado conexiones (teoremas). La verificación de que una cosa es de hecho de lo que fue creada para ser no tiene sentido.

Mi último punto es: se podría utilizar esta relación como la definición del vector de Laplace y se tendrían que demostrar que la definición que asume y lo que las propiedades que en consecuencia implica. Qué definición están asumiendo?