¿cuál es la suma de la siguiente permutación de la serie $nP0 + nP1 + nP2 +\cdots+ nPn$?

Question

¿cuál es la suma de la siguiente permutación de la serie $nP0 + nP1 + nP2+\cdots+ nPn$ ?

Sé que $nC0 + nC1 +\cdots + nCn = 2^n$, pero no para la permutación. ¿Hay algún resultado estándar para esto ?

Answer 1

Usted puede escribir como este

$$ S(n) = n! \left( {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + \cdots + {1 \over n!} \right) $$

y ahora recuerdo que $e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + \cdots $. Así que, de hecho

$$ S(n) = n! \left( e - \left( {1 \over (n+1)!} + {1 \over (n+2)!} + \cdots \right) \right) $$

y podemos arreglar esto para dar

$$ S(n) = n! \times e - \left( {1 \over (n+1)} + {1 \over (n+1)(n+2)} + \cdots \right). $$

Llame a la expresión entre paréntesis $g(n)$, es decir,

$$ g(n) = {1 \over (n+1)} + {1 \over (n+1)(n+2)} + {1 \over (n+1)(n+2)(n+3)} + \cdots $$.

Entonces claramente

$$ g(n) < {1 \over n} + {1 \over n^2} + {1 \over n^3} + \cdots $$

y por la habitual fórmula para la suma de una serie geométrica,

$$ g(n) < {1/n \over 1-(1/n)} = {1 \over n-1}. $$

En particular, si $n > 2$ tenemos $g(n) < 1$ y, por tanto,$(n! \times e) - 1 < S(n) < n! \times e$. Pero $S(n)$ es una suma de números enteros y por lo tanto es un número entero. Por lo $S(n) = \lfloor n! \times e \rfloor$, es decir, $S(n)$ es el mayor entero menor que $n! \times e$. Por ejemplo,$4! \times e \approx 65.23$$S(4) = 65$.

Esta secuencia es A000522 en la OEIS y la fórmula que me dio que aquí se dan allí sin pruebas.

Además, el número de alteraciones de n elementos está dado por $n! (1/0! - 1/1! + 1/2! - \cdots \pm 1/n!)$ y puede ser igualmente demostrado ser el entero más cercano a $n!/e$.

Answer 2

Que nos llame a la suma de $S(n)$. Tenemos $S(1) = 1P0 + 1P1 = 1+1 = 2$.

Para $n\gt 1$, podemos factor $n$ para obtener $$\begin{align*} S(n) &= nP0 + nP1 + nP2 + \cdots + nPn\\ &= 1+ n + n(n-1) + \cdots + n!\\ &= 1+ n\Bigl( 1+(n-1) + (n-1)(n-2) + \cdots + (n-1)!\Bigr)\\ &= 1+nS(n-1). \end{align*}$$

Por lo tanto, la secuencia comienza: $$\begin{align*} S(1) &= 2\\ S(2) &= 1 + 2S(1) = 5\\ S(3) &= 1+ 3S(2) = 16\\ S(4) &= 1+4S(3) = 65\\ S(5) &= 1+5S(4) = 326\\ &\vdots \end{align*}$$

Esta es la secuencia de A00522 en la Enciclopedia de Secuencias de Enteros. La entrada contiene numerosas conexiones; por ejemplo, $S(n)$ es la permanente de la $n\times n$ matriz con $2$s en la diagonal y $1$s en otros lugares; también da la fórmula de Marvis delpost: $$S(n) = \exp(1)\Gamma(n+1,1)\text{ where }\Gamma(z,t)=\int_{x\geq t} \exp(-x)x^{z-1}\, dx$$