Error en Dugundji capítulo IX, sección 11 ejemplo 3?

Question

Una familia de pseudometrics definida en un conjunto da lugar a una estructura uniforme en ese conjunto. Por otra parte (hasta el uniforme de equivalencia, de todos modos) cada estructura uniforme surge de esta manera. Deje $A$ $B$ ser familias de pseudometrics definidas en conjuntos de $X$ $Y$ respectivamente. Debe haber una manera de caracterizar el uniforme de la continuidad de los mapas de $X$ $Y$directamente en términos de $A$$B$, y pensé que sabía la manera correcta de hacerlo pero, cuando he escaneado a través de las secciones pertinentes en Dugundji de la Topología para confirmar mis sospechas, me encontré con:

"$f: X \to Y$ es uniformemente continua si para cada una de las $\beta \in B$ y cada una de las $\epsilon > 0$, existe un $\alpha \in A$ $\delta > 0$ que si $\alpha(x,x') < \delta$,$\beta(f(x),f(x')) < \epsilon$."

Esto parece más fuerte que el uniforme de continuidad para mí. Cuando traté de resolver el derecho de condición encontré que uno podría, dada una $\epsilon > 0$$\beta \in B$, sólo ser capaz de encontrar una $\delta>0$ y un número finito de pseudometrics $\alpha_1,\ldots,\alpha_n \in A$ tal que $(\alpha_i(x,x') < \delta \ \ \forall i) \Rightarrow \beta(f(x),f(x')) < \epsilon$.

Los pensamientos?

Edit: creo que no hay mucho más de lo que uno puede decir en respuesta a esta pregunta. Si $\mathscr{D}$ es una familia de pseudometrics en $X$, se puede reemplazar $\mathscr{D}$ con la familia $\mathscr{D}^+$ que consta de todos los pseudometrics de la forma $(x,y) \mapsto \max_{d \in \mathscr{F}} d(x,y)$ donde $\mathscr{F}$ es algún subconjunto finito de $\mathscr{D}$ sin inducir una mejor estructura uniforme en $X$. Como lo dijo Theo Buehler en los comentarios, si asumimos, sin pérdida de generalidad tan lejos como la estructura uniforme en $X$ le preocupa, que mi $A = A^+$ luego Dugundji la definición de continuidad uniforme es equivalente a la más torpe. En resumen, hay una pequeña inexactitud en Dugundji que puede corregirse fácilmente mediante la adición de una sola superíndice $+$ hacer explícita una suposición de que el autor (en lugar inofensivamente debo añadir) probablemente considera implícito. Me gustaría llamar a la cuestión resuelta. Si alguien no está de acuerdo, siéntase libre de decirlo, pero lo hará demasiado tarde para salvar a mi desventurada copia de Dugundji - que ya ha sido permanentemente desfigurada!

Answer 1

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