Evalúe la serie: $ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)^2k!}$

Question

Evalúe la serie:

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)^2k!}$$

Answer 1

La descomposición en fracciones parciales da

$$\frac{1}{k(k+1)^2}=\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{(k+1)^2}$$

Por lo tanto, esta serie es

$$\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{1}{(k+1)^2}\right)\frac{1}{k!}$$

$$=\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k \cdot k!}\right)-\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(k+1)!}\right)-\left(\sum_{r=2}^\infty\frac{1}{r\cdot r!}\right).$$

Observa cómo en la tercera suma ponemos $r=k+1$ así que $(k+1)^2k!=(k+1)\cdot(k+1)!=r\cdot r!$ . El término medio es claramente $e-2$ y la diferencia entre las series exteriores es $\frac{1}{1\cdot 1!}$ por lo que obtenemos $3-e$ .

Answer 2

Pruébelo con factor $x^k$ . $$\begin{align} f(x) &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}{k(k+1)^2k!} \\ f'(x) &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{(k+1)^2k!} \\ x^2f'(x) &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{(k+1)^2k!} \\ \big(x^2f'(x)\big)' &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{(k+1)k!} \\ x\big(x^2f'(x)\big)' &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{(k+1)k!} \\ \Big(x\big(x^2f'(x)\big)'\Big)' &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!} = e^x-1 . \end{align}$$ Ahora resuelve una ecuación diferencial. Luego introduce $x=1$ .