La mayoría de los estudiantes preguntaron por qué
$${a\over b}\div{c\over d}={ad\over bc}$$
Sólo les dije: invertir la segunda fracción y multiplicar. ¿Por qué? Me preguntan. No tengo ni idea.
¿Alguna respuesta lógica para ellos, chicos?
Hoy en día, los profesores se limitan a decir a los alumnos de secundaria que memoricen y que no se permita el "por qué" en las clases. Creo que eso está mal. Poner a la gente a estudiar matemáticas.
Por definición, $x \div y$ debe ser un número $z$ tal que $x = y z$ .
Así que sólo hay que verificar: $$ \dfrac{ad}{bc} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}$$ En última instancia, esto funciona gracias a las leyes asociativas y conmutativas de la multiplicación, pero no es necesario decírselo a los alumnos.
El "por qué" debería estar siempre permitido.
Dependiendo de lo que sepan estos alumnos, soy partidario de esta explicación:
$$\frac ab \div \frac cd = \frac{\frac ab}{\frac cd} = \frac{\frac {ad}{b}}{\frac {cd}{d}} = \frac{\frac {ad}{b}}{c} = \frac{\frac{ad}{bc}}{\frac cc} = \frac{ad}{bc} = \frac ab \cdot \frac dc$$
Lo único que tienen que aceptar es que podemos multiplicar cualquier fracción por $\frac dd$ o $\frac {\frac{1}{c}}{\frac{1}{c}}$ , lo que debería ser obvio para ellos si están haciendo la multiplicación de fracciones.
La motivación también está ahí: primero nos deshacemos de los molestos $d$ del denominador por multiplicando por ella, y luego nos deshacemos de los molestos $c$ por dividiendo por ella: en total, hemos multiplicado nuestro $\frac ab$ por $\frac dc$ .
Creo que el mérito de este método es que se aleja de la noción de $\div$ y expresa el resultado como una "fracción de fracciones", que es mucho más generalizable.
Cuando se divide $x÷y$ es lo mismo que $\frac{x}{y}=x×\frac{1}{y}$ . Los estudiantes familiarizados con las fracciones deberían ser capaces de entender esto. Esto es cierto independientemente de lo que $x$ o $y$ son, aunque sean fracciones. Por lo tanto, $\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}×\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$ .
Odio el $\div$ símbolo, y lo prohibiría si tuviera el poder.
Las fracciones SON división. La división ES la multiplicación por el recíproco. No es necesario aprender 3 notaciones diferentes.
Yo enseñaría que la división es la multiplicación por el recíproco primero con números enteros. Luego, al introducir la división por fracciones, dices que es exactamente lo mismo.
De todos modos, aprendí el proceso de voltear y multiplicar de memoria, y lo hice, y no sabía por qué funcionaba, pero era bueno para seguir las instrucciones. Por fin me salió el tiro por la culata cuando lo hice:
${\frac ab} \div{\frac cd} = \dfrac {\frac ab}{\frac cd}$
¿Cómo se saca la fracción del denominador? Multiplicas arriba y abajo por $d.$ ¿Y para sacar la fracción del numerador? Se multiplica arriba y abajo por $b.$
$\dfrac {ad}{cb}$
Al igual que el inverso aditivo de un número es su negativo, y restar es simplemente sumar un negativo, el inverso multiplicativo de un número es su recíproco, y por tanto dividir es simplemente multiplicar por un recíproco. Suponiendo que sepan por qué el método es el que es para multiplicar fracciones, podrán continuar una vez que conviertan la división en la multiplicación por un recíproco.
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Ver el magnífico trabajo de mweiss respuesta a una pregunta análoga en la MESE.
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Mi experiencia es que los argumentos que implican leyes conmutativas, distributivas, etc. no funcionan muy bien para los niños. Para ellos sólo estás sustituyendo una "explicación de caja negra" por otras "explicaciones de caja negra". En mi opinión, esto no es algo que se pueda solucionar rápidamente, y requiere un enfoque lento, constante y practicado. Esto debería ser algo que se consiguiera antes, pero Para algunos primeros pasos, véase mi respuesta en La enseñanza de las fracciones: el problema de la generalización .