La justificación para esta manipulación en una prueba de la primera variación de la fórmula de la energía

Question

Como parte de mi tarea, estoy para derivar la primera variación de la energía de la identidad. Trabajar el problema con mis amigos, nos llegó a ser exactamente el mismo argumento, como se presenta en estas notas (he cortado algunas partes irrelevantes de la presentación, pero se mantuvo en la explicación de la terminología y la notación; en cualquier caso, estoy usando sólo las notas para salvarme a mí mismo el trabajo de escribir toda la cosa).

Entiendo cada paso, salvo que el segundo:

$\color{blue}{\bf \large (3)}$ $\nabla$ es una métrica de conexión y $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle$ es simétrica

$\color{blue}{\bf \large (4)}$ $\nabla$ es de torsión libre (esto se menciona anteriormente: "cuando en el cuarto de la igualdad...")

$\color{blue}{\bf \large (5)}$ $\nabla$ es una métrica de conexión

$\color{blue}{\bf \large (6)}$ teorema fundamental del cálculo

¿Cuál es la justificación para el paso $\color{red}{\bf (2)}$?

Tenemos una ordinaria función escalar en $[a,b]\times (-\epsilon,\epsilon)$, que para comodidad de dejar el nombre de $h$: $$h(t,s)=\langle \dot{\gamma}_s(t),\dot{\gamma}_s(t) \rangle.$$ Tomamos la derivada parcial de $h$ w.r.t. $s$, en tanto que es una función escalar en $[a,b]\times(-\epsilon,\epsilon)$. Ahora, yo estoy muy bien con la igualdad $$\dot{\gamma}_s(t)=\frac{\partial f}{\partial t},$$ pero, ¿cómo funciona exactamente la diferenciación $\dfrac{\partial}{\partial s}$ se convirtió en $\nabla_{\tfrac{\partial f}{\partial s}}$?

Answer 1

La actualización. Al parecer, la pregunta ahora es claro para el OP, pero de todos modos he decidido resumir la discusión que se produjo aquí para aquellos que no están interesados en la lectura de la totalidad del lote.

Como el OP se comenta más abajo @Ted respuesta,

Pero no es $\nabla$ la conexión en M, mientras que $\langle \frac{\partial f}{\partial s}, \frac{\partial f}{\partial s}\rangle$ es todavía una función escalar en $[a,b]\times(-\epsilon,\epsilon)$? ¿Cómo podemos aplicar $\nabla$ a?

Después de algunos pensaron que me he dado cuenta de que a todos nos trató de justificar el paso (2), que resultó ser incorrecto e innecesario. De hecho, que el comentario revela que sólo el dominio de la derivada no es correcto.

El cálculo está todavía bien a pesar del problema con el segundo paso, porque uno simplemente tiene que usar el hecho de que $$ \frac{d}{d} \langle X, Y \rangle = \langle D_s X, Y \rangle + \langle X, D_s Y \rangle $$ donde $X$ $Y$ son campos vectoriales a lo largo de una curva con el parámetro $s$, e $D_s$ es la derivada covariante a lo largo de la curva (ver, por ejemplo, Lema 5.2 de J. M. Lee "de Riemann Colectores", pág.67). Ahora bien, yo creo que la Proposición 2.2 en M. P. do Carmo "Geometría de Riemann", pág.50, los estados de este hecho, incluso en la más adecuada, porque en Lee el libro que tenemos que volver al Lema 4.9 de la página. 57, de la parte (c) que implica que, en $X$ es un extensibles del campo vectorial a lo largo de la curva, a continuación, para cualquier ampliación $\widetilde{X}$ de este campo tenemos $$ D_s X(s) = \nabla_{\frac{\partial f}{\partial s}} \widetilde{X} $$ a lo largo de la curva.

Sigo el texto de abajo en aras de la exhaustividad.

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Yo diría que $\frac{\partial}{\partial s}$ $s=0$ es igual a la variación del vector de $V$, y por un escalar $h$ podemos decir que el $V\,h = \nabla_V h$

Edit. Déjeme hacer mi comentario más convincente.

La derivada parcial de un escalar $h(t,s)$ w.r.t. $s$ es precisamente la derivada covariante de $h$ a lo largo de la curva de $p_t (s)$ (para cada una de las $t$ fijo). Esto es sólo porque covariante derivados de las funciones (escalares) son las mismas que las derivadas direccionales (como @Ted correctamente en punta), y que son de la misma como la Mentira de los derivados, y el exterior... - todos están de acuerdo en funciones.

Por definición, la variación del vector de campo $V$ es el pushforward de las coordenadas del vector de campo $\frac{\partial}{\partial s}$, que es $$ V := \mathrm{d}f \left( \frac{\partial}{\partial s} \right) = \frac{\partial f}{\partial s} $$ así tenemos $$ \frac{\partial}{\partial s} h = \mathrm{D}_s h = \nabla_V h $$

Aquí está la foto:

Answer 2

Recuerde que $\nabla_X h=dh(X)$ es simplemente la derivada direccional. $\dfrac{\partial f}{\partial s}$ es el campo de vectores de dar la $s$ de variación.