Si cada imagen con un continuo abrir mapa de un espacio de Hausdorff es Hausdorff, mostrar que X tiene topología discreta.

Question

Deje $ ( X , \tau )$ $T_2$ espacio topológico tal que abrir cada imagen continua de $X$$T_2$. Mostrar que $ \tau$ es la topología discreta en $X$.

Esta es una pregunta que he estado pensando y siento que estoy llegando a ninguna parte. La única cosa que podía pensar para intentar estaba usando el teorema que dice:

Lema. Si $f$ es un continuo abrir mapa de $X$ a $Y$, $Y$ es Hausdorff iff $ \{ (x_1, x_2) : f(x_1) = f(x_2) \}$ es un subconjunto cerrado de $X \times X$.

He intentado buscar algún mapa que podría permitirme utilizar el lema anterior para demostrar que cualquier conjunto dado $A \in \tau$ es tal que $ A \times A$ es cerrado por el lema, y por lo tanto $A$ es cerrado . No he tenido ningún éxito. Cualquier sugerencia o ayuda se agradece, gracias!

Answer 1

Deje $\mathbb S$ ser el Sierpiński espacio, es decir, $\mathbb S=\{0,1\}$ equipado con la topología $\{\emptyset,\{1\},\mathbb S\}$. Para $a\in X$, definir un mapa de $f_a:X\to\mathbb S$ por $$f_a(x)=\begin{cases}0;&x=a,\\1&x\neq a.\end{cases}$$ The map $f_a$ is continuous, because $f^{-1}\{1\}=X\setminus\{a\}$ debe ser abierto, ya que los puntos son cerrados en espacios de Hausdorff.

También tenga en cuenta que si $X=\{a\}$, $X$ es claramente discretos, así que vamos a asumir que $X$ tiene al menos $2$ puntos, en cuyo caso $f_a$ es surjective.

El mapa de $f_a$ es abierto si y sólo si $a$ no está abierto. Para ver esto, observe que $\{0\}$ es la única que no abra subconjunto de $\mathbb S$, lo $f_a$ solo puede no ser abierta si $\{0\}$ es la imagen de un conjunto abierto. Ahora, $\{a\}$ es el único conjunto $f_a$ es a $\{0\}$, lo $f_a$ solo puede no ser abierta si $\{a\}$ está abierto.

Vamos a probar ahora que cada singleton $\{a\}\subseteq X$ es abierto, con lo que establece la afirmación de que $X$ es discreto. Se argumenta por la contradicción: supongamos $\{a\}$ no está abierto. A continuación, $f_a$ es abierto y continuo. Por lo tanto, su imagen se $\mathbb S$ es un espacio de Hausdorff, una clara contradicción.

Esta contradicción demuestra que los puntos en $X$ son abiertos, por lo $X$ es discreto.