Solucionar $(x-2)^6+(x-4)^6=64$ usando una sustitución.

Question

Solucionar $(x-2)^6+(x-4)^6=64$ usando una sustitución.

Me canse de usar $t=x-2$.

Pero de nuevo tengo que saber la expansión de la energía $6$.

Puede ser transformada a una ecuación cuadrática ?

Sé que puede ser resuelto de alguna manera por la expansión de los poderes. Pero estoy tratando de conseguir una buena transformación por un sub.

Answer 1

Si pones $t = x-3$, usted tiene $$ (t-1)^6 + (t+1)^6 = 64 $$ el extraño términos se cancelan cuando se expanda la LHS, así que usted consigue $$ u^3 + 15u^2 + 15u + 1 = 32 $$

donde $u = (x-3)^2$. A partir de la observación, ya sea la inicial o ecuación de esto, está claro que $u = 1$ (correspondiente a$t=\pm1$$x = 4,2$) es una solución, por lo que puede factor de $$ (u^2 + 16u + 31)(u-1) = 0 $$

Answer 2

Poner $y=x-4$

$$(y+2)^6+y^6=2^6$$

Debe quedar claro que $0$ $-2$ son soluciones.

La función de $f(y)=(y+2)^6+y^6-2^6$ es la disminución de $y \in (-\infty,-1)$. Y el aumento de $(-1,\infty)$, por lo que en la mayoría de tiene dos raíces.

Answer 3

Deje $x-2=a$$4-x=b$.

Por lo tanto, $a+b=2$ $a^6+b^6=64$ o $$(a^2+b^2)(a^4+b^4-a^2b^2)=64$$ o $$(2-ab)(a^2b^2-16ab+16)=32$$ o $$ab(a^2b^2-18ab+48)=0.$$

$ab=0$ da $x=2$ o $x=4$. $ab=9-\sqrt{33}$ no se da un verdadero raíces y $ab=9+\sqrt{33}$ no se da un verdadero raíces.

Id est, la respuesta es $\{2,4\}$.