Considere la posibilidad de $C,C'$ dos cúbicas en el avión con $C$ liso. Hay $9$ punto de base en el sistema lineal generado por $C$ $C'$ así que si soplamos ellos se obtiene un mapa de $X \to\mathbb P^1$ donde $X$ $\mathbb P^2$ soplado hasta en 9 puntos. Ahora viene mi pregunta : cómo calcular $K_X$ ? Vi que $K_X = - C$. Pero no entiendo cómo conseguirlo. Es la siguiente argumento correcto ? $K_X = -c_1(X) = -c_1(f^*\mathbb P^2) = - f^*c_1(\mathbb P^2) = - f^*3H$ donde $H$ es un hyperplane sección. Ahora $3H \sim C$ $f^*C$ es la estricta transformación de $C$. Gracias de antemano por cualquier comentario !
Respuesta
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Aquí es una fórmula que debe aprender (digamos de Hartshorne). Si $Y$ es una superficie lisa, $p\in Y$ es un punto y $\pi:X\to Y$ el golpe de $p$ $E$ el divisor excepcional, a continuación,$K_X=\pi^*K_Y+E$.
En su caso, $K_X=f^*K_{\mathbb{P}^2}+\sum E_i$. Desde $K_{\mathbb{P}^2}=-C$, obtenemos $K_X=-f^*C+\sum E_i$ e lo $K_X$ es el negativo de la correcta transformación de $C$. ($K_X=-C$ no es significativo, ya que $C$ no es una curva en $X$).
