Hay otra manera de resolver esta ecuación diferencial?

Question

Para poner esto en contexto, yo estaba considerando la ecuación general de movimiento armónico amortiguado:

$\ddot z +2\gamma\dot z +\omega_0^2z=0$

y, específicamente, de ahí la limitación de los casos en donde la fuerza de amortiguación (a la que el segundo término corresponde) es cero, y donde la fuerza de restauración (a los que el último término corresponde) es cero.

En el segundo caso, el rendimiento de la ecuación diferencial

$\ddot z +2\gamma\dot z=0$

y lo resuelto en la siguiente forma:

Me separé $\ddot z$ a $\frac{d}{dt}\dot z$ y, a continuación, separa las vairables:

$\int\frac{1}{\dot z}d\dot z =\int-2\gamma dt$

que da la solución exponencial esperado.

Ahora estoy considerando el caso en el que hay un movimiento armónico simple con ninguna de amortiguación, es decir, el caso que da lugar a la ecuación diferencial:

$\ddot x +\omega_0^2 x=0$

Yo no puedo figre fuera hay una manera de resolver esto sin suponer una solución exponencial y la búsqueda de las constantes en la solución? Por ejemplo, en la ecuación de arriba, yo era capaz de resolver por separación de variables. Yo no estoy tan seguro de que esto funcionará aquí donde tenemos una segunda derivada de x y de x en sí mismo, pero no estoy seguro.

También, agradecería si alguien podría recomendar un recurso en línea o un libro que explica cómo resolver los diferentes tipos de integrales y ecuaciones diferenciales. He estado tratando de estudiar esto por algún tiempo, pero no he encontrado nada que me parece muy completa, y tal vez algo que se trabajó ejemplos?

Answer 1

Uno, no del todo-solución estándar (aunque no generalizar, hasta cierto punto):

Escribir la ecuación como $\frac{\ddot x}{x}=-\omega^2$, y deje $u=\frac{\dot x}{x}$.

A continuación,$\dot u=\frac{\ddot x}{x}-\left(\frac{\dot x}{x}\right)^2\implies \dot u+u^2+\omega^2=0\implies\frac{\omega\dot u}{u^2+\omega^2}+\omega=0$.

De esto podemos ver:

$$\dot{\left(\arctan\frac{u}{\omega}\right)}+\omega=0\implies u=-\omega\tan(\omega t+c)$$

para algunos $c$. Así

$$\frac{\dot x}{x}=-\omega\tan(\omega t+c)\implies \dot{(\log x)}=\dot{(\log \cos (\omega t+c))}$$

y podemos deducir que $x=R\cos(\omega t+c)$ algunos $R,c$.

Answer 2

Desde su segundo orden lineal de la ecuación diferencial ordinaria tiene coeficientes constantes, se puede generalizar la solución a la ecuación (abajo) para los valores de $\gamma$ $\omega$ sin ningún tipo de limitaciones mediante el concepto de polinomio característico.

$$\frac{d^2 z}{dt^2}+2\gamma\frac{dz}{dt}+\omega^2 z=0$$

Vamos a asumir la forma de la solución a $z(t)=e^{\lambda t}$

Vamos a sustituir esto en la ecuación diferencial para obtener:

$$\lambda^2 e^{\lambda t}+2\gamma\lambda e^{\lambda t}+\omega^2 e^{\lambda t}=0$$

$$e^{\lambda t}(\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega^2)=0$$

Podemos deducir que $e^{\lambda t}$ sólo igual a cero para valores distintos de cero de a $t$ si $\lambda \to -\infty$. Por lo tanto, esta es una solución trivial.

Por lo tanto, debemos considerar sólo la solución a $\lambda$ $\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega^2=0$ (Nuestro polinomio característico).

Podemos solucionar esto usando la fórmula cuadrática. Por lo tanto, las dos raíces del polinomio característico será:

$$\lambda=\frac{-2\gamma \pm \sqrt{4\gamma^2-4\omega^2}}{2}=-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-\omega^2}$$

Denotamos $\lambda_1$ $\lambda_2$ a las raíces de la ecuación anterior.

Nos damos cuenta de que dependiendo de los valores de las constantes $\gamma$$\omega$, las soluciones a $\lambda$ será diferente, y así por lo tanto nuestras soluciones generales serán significativamente diferentes.

Separamos cada caso:

1. Si los dos raíces son reales y distintas (es decir,$\lambda_1 \neq \lambda_2$)
2. Si los dos raíces son complejas.
3. Real repetidos de raíces (es decir,$\lambda_1=\lambda_2$)

Caso 1

Desde el particlular soluciones se $z_1(t)=e^{\lambda_1 t}$$z_2(t)=e^{\lambda_2 t}$, se producirá la solución general cuando sustituyó a $z(t)=k_1 z_1(t) + k_2 z_2(t)$.

$$z(t)=k_1 e^{\lambda_1 t}+k_2 e^{\lambda_2 t}$$

Caso 2

Se denota un número complejo por $\lambda=a+bi$.

Desde $\lambda_{1,2}$ ser complejo, el uso de $e^{i \theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$, obtenemos la solución general:

$$z(t)=k_1 e^{at} \cos{(bt)} + k_2 e^{at} \sin{(bt)}$$

Caso 3

$$z(t)=k_1 e^{\lambda t}+k_2 t e^{\lambda t}$$

FINAL DE LOS CASOS

Por lo tanto, para la solución de la ecuación diferencial que quería encontrar, $\ddot{z}+\omega z=0$, vamos a $\gamma=0$. Desde ambas soluciones a $\lambda$ son puramente imaginarios (es decir, el Complejo con $a=0$), la forma de la solución va a ser el Caso 2. La solución general es, por tanto:

$$z(t)=k_1 \cos{(\omega t)} + k_2 \sin{(\omega t)}$$

Usted puede sustituir sus condiciones iniciales de la ecuación para obtener los valores de las constantes arbitrarias $k_1$ $k_2$ para el movimiento armónico simple como:

$$z(t)=z_0 \cos{(\omega t)} + \frac{v_0}{\omega} \sin{(\omega t)}$$

Que puede ser escrita en la forma:

$$z(t)=A (\cos{\omega t+\varphi})$$

Para obtener más información, consulte:

Real, diferente de la de las Raíces, Raíces Complejas y Repetidos de Raíces

Answer 3

Primero vamos a aclarar que no estamos asumiendo que la solución de esta ecuación diferencial tiene la forma exponencial. Esta ecuación pertenece a una clase de ecuaciones diferenciales cuya tener soluciones sencillas y de hecho han exponencial de la forma más sutil sentido. Ahora vamos a averiguar qué clase de ecuaciones diferenciales estamos hablando definiendo una nueva variable.

Deje $ v = \dot z $. A continuación,$ \dot v = \ddot z = - 2\gamma\dot z - \omega_0^2z $.

Así que podemos ver que esta ecuación es en realidad es un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales. Es decir, $$ \begin{cases} \dot z = v \\ \dot v = - 2\gamma v - \omega_0^2z \end{cases} $$

Que puede ser escrito en la forma de la matriz mediante el establecimiento de $ x = \begin{bmatrix} z \\ v \end{bmatrix} $ $ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ - \omega_0^2 & - 2\gamma \end{bmatrix} $.

Usando esta notación, el sistema simplemente se convierte en $$ \dot x = Ax $$

Esta ecuación no recuerda nada? Usted debe estar familiarizado con esta ecuación al $ A \in \mathbb{R} $ y su solución $ x(t) = ke^{At} $ donde $k$ es alguna constante real. Es de aquí que surge la motivación para la matriz de exponenciación. Considere la siguiente pregunta:

Es posible extender la definición de la exponenciación de números reales a la real de las matrices cuadradas tales que conserva todas sus propiedades, incluyendo la función de $ x(t) = ke^{At} $ es la solución de la (ahora de la matriz) de la ecuación de $ \dot x = Ax $ ?

La respuesta es sí, y es hecho de forma natural por sólo subtituting números reales por real matrices en el poder de la serie de la definición de la función exponencial. Que es

$$ e^A := \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ k! } { A }^{ k } } $$

Aún más sorprendente es que esta definición funciona incluso para matrices complejas!

Ahora, volviendo al caso particular $ \ddot x +\omega_0^2 x=0 $, la razón de su verdadera solución está escrita en términos de las funciones trigonométricas es que sus correspondientes de la matriz tiene complejo de autovalores y la fórmula de Euler $$ e^{iz} = cos(z) + i sin(z) $$ juega un papel aquí.

Mediante los siguientes dos proposiciones que puede ser probada y verdadera Fórmula de Euler que se derivan de la general de la solución real de la general de compleja solución.

Proposición 1. El general de compleja solución del sistema lineal $ \dot x = Ax $ donde $A$ $n$ x $n$ real de la matriz de con $n$ distintos (posible complejo) autovalores $\lambda_1, ..., \lambda_n$ asociado con los vectores propios $v_1, ..., v_n$ está dado por $$ x(t) = \sum _{ i=1 }^{ n }{ c_i e^{\lambda_i t} v_i } $$ donde $c_i$ son complejos constantes. Tenga en cuenta que esto es complejo de exponenciación.

Proposición 2. El general de la real solución del sistema lineal $ \dot x = Ax $ donde $A$ $n$ x $n$ real de la matriz de con $n$ distintos (posible complejo) autovalores $\lambda_1, ..., \lambda_n$ asociado con los vectores propios $v_1, ..., v_n$ es una combinación lineal de las partes real e imaginaria de soluciones complejas. Es decir, si $x(t)$ es una solución compleja, a continuación, $y(t) = k_1 Re(x(t)) + k_2 Im(x(t))$ es una solución real, donde $k_1$ $k_2$ son reales constantes.

(Los detalles están en bruto, pero se supone que esta es sólo una idea de la teoría detrás)

Solución. Escribir la ecuación asociada a la matriz $ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ - \omega_0^2 & 0 \end{bmatrix} $ encontramos sus autovalores $ \lambda_1 = -i w_0 $ $ \lambda_2 = i w_0 $ con los correspondientes vectores propios $v_1$$v_2$. Ahora aplicamos (Prop. 1) para obtener el complejo de la solución general, seguido por la fórmula de Euler para obtener complejas combinaciones lineales de las funciones trigonométricas y finalmente (Prop. 2) con algunos de álgebra para llegar a la general de la real solución dada por: $$ x(t) = \begin{bmatrix} z(t) \\ v(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_1 cos(\omega_0 t) + k_2 sin(\omega_0 t) \\ - k_1 sin(\omega_0 t) + k_2 cos(\omega_0 t) \end{bmatrix} $$

Tienes que ir a través de un poco de teoría, pero después de que se realiza se vuelve mucho más fácil para encontrar la solución general para esta clase de ecuaciones diferenciales.

Espero que me trajo algunos conocimientos de una forma natural para tratar con este tipo de ecuaciones. Usted puede encontrar los detalles, trabajó ejemplos, y más en el gran libro de Ecuaciones Diferenciales, Sistemas Dinámicos, y una Introducción al Caos por Hirsch, Smale y Devaney.

Answer 4

Caso General...

Dado

$$ \ddot{z} + 2 \gamma \dot{z} + \omega_0^2 z = 0. $$

Escribir

$$ \frac{d^2 z}{dt^2} + 2 \gamma \frac{d z}{dt} + \omega_0^2 z = f(t). $$

De dónde

$$ \exp\left(-\lambda_+ t \right) \frac{d}{dt} \exp\left(\lambda_+ t \right) \exp\left(-\lambda_ - t \right) \frac{d}{dt} \exp\left(\lambda_ - t \right) z = f(t), $$

donde

$$ \lambda_\pm = \gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}. $$

Así que la solución puede ser escrito como

$$ z = \exp\left(-\lambda_ - t \right) \int dt \exp\left(+\lambda_ - t \right) \exp\left(-\lambda_+ t \right) \int dt \exp\left(+\lambda_+ t \right) f(t). $$

El caso

$$ \ddot{z} + 2 \gamma \dot{z} + \omega_0^2 z = 0. $$

significa $f(t)=0$, por lo que

$$ z = \exp\left(-\lambda_ - t \right) \int dt \exp\left(+\lambda_ - t \right) \exp\left(-\lambda_+ t \right) \int dt \exp\left(+\lambda_+ t \right) f(t) $$

$$ ... = c_+ \exp\left(\lambda_+ t \right) + c_- \exp\left(\lambda_ - t \right) $$

Caso especial

Dado

$$ \ddot{z} + \omega^2 z = 0. $$

Así

$$ 2 \ddot{z}\dot{z} + 2 \omega^2 z \dot{z} = 0. $$

De dónde

$$ \frac{d}{dt} \left[ \dot{z}^2 + \omega^2 z^2 \right] = 0 $$

Así $$ \dot{z}^2 + \omega^2 z^2 = K^2 $$

Entonces

$$ \frac{dz}{dt} = \sqrt{K^2 - \omega^2 z^2 } $$

Por lo tanto

$$ t = \int \frac{dz}{\sqrt{K^2 - \omega^2 z^2 }} $$

Así

$$ t = \frac{1}{\omega}\sin^{-1} \left( \frac{z\omega}{K} \right) + t_0 $$

De dónde

$$ z = K \sin\left( \omega [ t - t_0 ] \right) $$