¿Cómo puedo mostrar si la siguiente serie es convergente o divergente $$\sum_{n=1}^\infty \frac1n \left ( 1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n \right) = \sum_{n = 1}^\infty\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n\frac{1}{k}$$ Si se tratara de una secuencia fácilmente podría haber utilizado Cauchy primer teorema.
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Michael Hardy
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Claude Leibovici
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Admitiendo que puede utilizar el número armónico, consideremos $$S_p= \sum_{n = 1}^p\frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n\frac{1}{k}=\sum_{n = 1}^p\frac{H_n}{n}=\frac{\left(H_p\right){}^2}{2}-\frac{H_p^{(2)}}{2}-\psi ^{(1)}(p+1)+\frac{\pi ^2}{6}$$ Considering the asymptotics $$H_p=\gamma +\log \left(p\right)+\frac{1}{2 p}-\frac{1}{12 p^2}+O\left(\frac{1}{p^4}\right)$$ $$H_p^{(2)}=\frac{\pi ^2}{6}-\frac{1}{p}+\frac{1}{2 p^2}-\frac{1}{6 p^3}+O\left(\frac{1}{p^4}\right)$$ $$\psi ^{(1)}(p+1)=\frac{1}{p}-\frac{1}{2 p^2}+\frac{1}{6 p^3}+O\left(\frac{1}{p^4}\right)$$ you should end with $$S_p=\frac{\pi ^2}{12}+\frac{\gamma ^2}{2}+\gamma \log \left(p\right)+\frac{1}{2} \log ^2\left(p\right)+\frac{\log \left({p}\right)+\gamma -1}{2 p}+O\left(\frac{1}{p^2}\right)$$ que se muestra el resultado.
Computación exactamente para $p=10$, tenemos $$S_{10}=\frac{32160403}{6350400}\approx 5.06431$$ while the above expression gives $ \aprox 5.06308$.
Fabian
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Patrick Stevens
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EDIT: he respondido a la pregunta como se había dicho, pero creo que la intención de pedir una cuestión diferente de la que en realidad le preguntó.
Esta es la media de $S_n = \{1, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{n}\}$. Eso es claramente delimitado por $0$$1$, y también es claramente decreciente, debido a que para pasar de $S_n$ $S_{n+1}$no nos quita nada de $S_n$ pero añadimos una pequeña cosa (es decir,$\frac{1}{n+1}$).
